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Niveau maths sup
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Réflexion et complexes

Posté par
Ramanujan
18-03-20 à 16:53

Bonjour,

Soit a \in \C et \theta \in \R. Prouver que l'image z' du complexe z par la réflexion dont l'axe est la droite passant par a et dirigée par e^{i \theta} vérifie :

z'-a= e^{2i \theta} \bar{z-a}

Je ne comprends pas le corrigé suivant. J'ai vu d'autres corrigés encore plus compliqués qui faisaient des composées de 4-5 applications, incompréhensible.

Considérons le changement de variable u=e^{- i \theta} (z-a) pour se ramener au cas où a=\theta=0 c'est-à-dire à la réflexion suivant l'axe des réels.
L'image u' du complexe u vérifie u'=\bar{u}

Comment on peut faire un changement de variable d'une droite ? Je n'arrive pas à comprendre cette histoire de changement de variable.

Posté par
lionel52
re : Réflexion et complexes 18-03-20 à 17:10

Hello!

Si tu fais un dessin :
Pour passer du repère R complexe classique au repère R' centré en a, donc l'axe des abscisses est la droite d en question, tu vois bien qu'il faut d'abord translater l'axe de réels, puis faire une rotation d'angle theta
On est ok jusque là?

Ainsi, pour connaitre l'affixe z' d'un point z dans le repère R, et ce dans le repère R' tu as
z' = f(z) = e^{-i\theta}(z-a)

Pour la preuve si t'es pas convaincu tu peux remarquer que f est forcément une similitude donc s'écrit sous la forme f(z) = az+b, que f(z) = 0  et f(a + re^{i\theta}) = r


Dans le repère R', la réflexion par rapport à d est donc tout simplement donnée par r(z') = \bar{z'}

Posté par
lionel52
re : Réflexion et complexes 18-03-20 à 17:12

Pardon

Pour la preuve si t'es pas convaincu tu peux remarquer que f est forcément une similitude donc s'écrit sous la forme f(z) = Az+B, que f(a) = 0  et f(a + re^{i\theta}) = r pour tout r réel

C'est mieux

Posté par
lionel52
re : Réflexion et complexes 18-03-20 à 17:19

(et précision f est une similitude directe)

Posté par
matheuxmatou
re : Réflexion et complexes 18-03-20 à 17:31

sinon, pour Ramanujan qui aime les trucs calculatoires (puisque la solution esthétique des composées de translations / réflexion / rotation ne lui plait pas ...!) on peut aussi y aller de façon bourin !!

la réflexion dont il parle est une similitude indirecte

donc son expression complexe est du type z'=g(z) = \alpha \bar{z} + \beta

il suffit de dire que g(a)=a et que g(a+ei)= a+ei

pour trouver et

et l'expression cherchée !

Posté par
Ramanujan
re : Réflexion et complexes 18-03-20 à 22:08

@Matheux
Je n'ai jamais vu le résultat que vous donner, ce n'est pas dans mon cours. Donc je n'ai pas compris.

Posté par
Ramanujan
re : Réflexion et complexes 18-03-20 à 22:17

Je n'ai pas compris vos solutions utilisant les similitudes. Je ne comprends rien aux équations avec f(z)

Dans mon cours j'ai juste z \mapsto \bar{z} est une symétrie d'axe (Oi).

Posté par
Ramanujan
re : Réflexion et complexes 18-03-20 à 22:27

Je n'ai pas compris le changement de repère.

Réflexion et complexes

Posté par
lionel52
re : Réflexion et complexes 18-03-20 à 23:21

Bon je passe mon tour cette fois ci ça va me saouler

Posté par
luzak
re : Réflexion et complexes 19-03-20 à 10:17

Bonjour !
Un grain de sel qui ne coûte rien :
|z-a|=|z'-a|=|\bar{z-a}| donc z'-a=\bar{z-a}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}
\arg(z-a)+\arg(z'-a)=2\theta  (\Delta est bissectrice d'un angle de vecteurs)
ce qui donne t=2\theta (il suffit de savoir calculer l'argument d'un conjugué et d'un produit)

Posté par
matheuxmatou
re : Réflexion et complexes 19-03-20 à 10:56

ça fait déjà 3 méthodes avec celle de lionel52, celle de luzak et la mienne !

allez, je ne résiste pas à celle avec les composées ... aisée à comprendre avec la jolie figure que Ramanujan a posté...

je lui laisse le soin de faire les figures intermédiaires...

on translate du vecteur (-a) : z z-a (et A vient en O)

puis on tourne la figure de - autour de O : ze-i (z-a)

l'axe de réflexion est donc maintenant l'axe des abscisses

on symétrise par rapport à l'axe des abscisses : z \rightarrow e^{i\theta}\;\bar{(z-a)}

on pivote de autour de O : z \rightarrow e^{2i\theta}\;\bar{(z-a)}

puis on translate de (a)... et on arrive sur z' ... d'où : z' = e^{2i\theta}\;\bar{(z-a)} +a

et donc la formule demandée

Posté par
XZ19
re : Réflexion et complexes 19-03-20 à 12:19

Bonjour  
@Ramanudjan,  regardes ce lien,  il y a quelqu'un qui a posé le même problème que toi et tu trouveras peut être la solution à ton problème.  

Posté par
carpediem
re : Réflexion et complexes 19-03-20 à 14:13

salut

par définition d'une réflexion la demi somme des affixes d'un point et de son image est un point de l'axe

z + z' - 2a = z - a + e^{2it}(z^* - a^*) = e^{it} \left[ (z - a)e^{-it} + (z^* - a^*)e^{it} \right]

or le crochet est réel ...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Réflexion et complexes 19-03-20 à 15:11

Bonjour

>XZ19. C'est lui qui a posé la question!

Posté par
XZ19
re : Réflexion et complexes 19-03-20 à 15:21

Ha!  Mais  pourtant il a obtenu pas mal de réponse ici...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Réflexion et complexes 19-03-20 à 15:24

C'est une habitude (très mauvaise). Et je n'ai pas encore regardé les autres forums où il fait la même chose!

Posté par
XZ19
re : Réflexion et complexes 19-03-20 à 15:42

Rebonjour  

@Ramanudjan    :::::  

1.  D'abord  tu fais une translation  t  de vecteur  -a:    (i.e   t(z)=z-a)   ce qui ramène  a  en l'origine 0.

2. Ensuite  tu fais une rotation  r d'angle -\theta :  (i.e    r(z)=e^{-i\theta} z)  

L'axe de symétrie   D qui passe par A  est  qui fait un angle -\theta   avec l'axe Ox  a  donc pour image par  r \circ t   l'axe  Ox.

C'est pas difficile  de voir que r \circ t(z')  est le symétrique de r \circ t(z)  par rapport à Ox.  

C'est à dire  que e^{-i\theta} (z'-a)=\bar{e^{-i\theta} (z-a)}
 \\
ou encore à finir

Posté par
lake
re : Réflexion et complexes 19-03-20 à 16:57

Bonjour,

Autre méthode:

  Réflexion et complexes

Soit s la réflexion d'axe l'axe des réels d'écriture complexe z'=\bar{z}

s_{\Delta}\circ s=rr est la rotation de centre I, d'angle 2\,\theta et d'écriture complexe z'-z_I=e^{2i\theta}(z-z_I)

et s_{\Delta}=r\circ s d'écriture complexe z'-z_I=e^{2i\theta}(\bar{z}-z_I)

A étant invariant par s_{\Delta}, on a  a-z_I=e^{2i\theta}(\bar{a}-z_I)

  Puis par différence z'-a=e^{2i\theta}(\overline{z-a})

Posté par
Ramanujan
re : Réflexion et complexes 19-03-20 à 20:56

Ok désolé mais Lionel m'a dit qu'il voulait plus m'aider donc j'ai demandé ailleurs.

@Luzak.
Merci mais je penserai jamais à ce genre de méthode astucieuse.

@Matheux.
Ok merci j'ai capté.

@Lake
Joli raisonnement. J'arrive à suivre sauf une étape :
Je n'ai pas compris pourquoi s_{\Delta} \circ s=r

J'ai fait un dessin c'est pas la rotation d'angle -2 \theta ?

Je ne vois pas comment montrer que IM=IM' ni comment montrer que \arg(\vec{IM},\vec{IM'}) = -2 \theta

Réflexion et complexes

Posté par
Ramanujan
re : Réflexion et complexes 19-03-20 à 20:57

Ni comment montrer que arg (\vec{IM},\vec{IM'})=2 \theta  [2 \pi]

Posté par
lake
re : Réflexion et complexes 19-03-20 à 22:33

Avec ton dessin, tu t'es occupé de s\circ s_{\Delta} et non de s_{\Delta}\circ s

Citation :
arg (\vec{IM},\vec{IM'})=2 \theta  [2 \pi]


Il faut choisir son camp: ou tu utilises des angles orientés de vecteurs ou des arguments de complexes. Le mélange des deux est... comment dire?

Il y a des bissectrices!

Citation :
Je ne vois pas comment montrer que IM=IM'


Tout de même une réflexion est réputée être une isométrie (ainsi que des composées de réflexions)

De toute manière, je pense qu'à ton niveau, tu es censé connaître la composée de deux réflexions d'axes sécants. C'est un résultat classique.

Posté par
Ramanujan
re : Réflexion et complexes 20-03-20 à 05:12

Oui c'est un résultat du cours. C'est démontré dans un autre chapitre en utilisant des matrices de symétrie.

J'ai réussi à montrer ces résultats avec de la géométrie de collège,

J'ai lu un autre corrigé qui ressemble à votre méthode Lake, mais je n'ai pas vraiment compris.

Soit s la réflexion d'axe la droite passant par a et dirigée par e^{i \theta} et s' la réflexion d'axe la droite passant par a et dirigée par 1. Et r la rotation de centre a et d'angle 2 \theta.
On sait que s \circ s'=r

Je n'ai pas compris pourquoi. Ce n'est pas naturel de considérer cette symétrie, pourquoi dirigée par 1 ?
Bref, je ne vois pas comment on peut sortir une telle solution.

Posté par
verdurin
re : Réflexion et complexes 20-03-20 à 07:53

Bonjour,
la symétrie par rapport à l'axe des réels est la conjugaison.
C'est pour ça que l'on prend l'axe dirigé par 1.

Posté par
lake
re : Réflexion et complexes 20-03-20 à 09:41

C'est quasiment la même chose:

   Mon point I se retrouve en A, centre de r et l'écriture complexe de s' est z'-a=\overline{z-a}

  Si bien qu'on a directement s=r\circ s' d'écriture complexe z'-a=e^{2i\theta}(\overline{z-a})

Posté par
lake
re : Réflexion et complexes 20-03-20 à 11:31

Un dessin est peut-être plus explicite:

Réflexion et complexes

Posté par
carpediem
re : Réflexion et complexes 20-03-20 à 12:16

carpediem @ 19-03-2020 à 14:13

salut

par définition d'une réflexion la demi somme des affixes d'un point et de son image est un point de l'axe

z + z' - 2a = z - a + e^{2it}(z^* - a^*) = e^{it} \left[ (z - a)e^{-it} + (z^* - a^*)e^{it} \right]

or le crochet est réel ...
en divisant par 2 et en notant I le milieux du segment [MM'] et A le point d'affixe a alors cette égalité dit que le vecteur \vec {AI} est colinéaire au vecteur \vec u unitaire d'affixe e^{it} donc directeur de l'axe de réflexion ...

Posté par
XZ19
re : Réflexion et complexes 20-03-20 à 13:21

Bonjour  
Pour résumé, je ne connais pas très bien le niveau du Capes, mais ça ressemblerait  à une première question?  

Posté par
malou Webmaster
re : Réflexion et complexes 20-03-20 à 13:42

bonjour
je ne sais pas...mais il n'y a pas si longtemps, on faisait ça à la volée en terminale....

Posté par
Ramanujan
re : Réflexion et complexes 02-04-20 à 08:57

@Lake
Joli dessin mais c'est où que vous utilisez l'axe dirigé par 1. Ça veut dire quoi un axe dirigé par 1 ?
C'est votre droite d'équation y=2,7 sur le dessin ?

Par ailleurs, comment savez vous que l'angle que vous avez représenté vaut 2 \theta ?
Oui je suis nul en géométrie

Ce sont les premières questions d'une épreuve de Centrale MP.

Posté par
lake
re : Réflexion et complexes 02-04-20 à 13:10

Citation :
c'est où que vous utilisez l'axe dirigé par 1. Ça veut dire quoi un axe dirigé par 1 ?


  C'est une droite dirigée par un vecteur d'affixe 1. Autrement di une droite parallèle à l'axe des réels.

Ici, on a choisi la droite parallèle à l'axe des réels passant par A.

Citation :
Par ailleurs, comment savez vous que l'angle que vous avez représenté vaut 2 \theta ?


s est la réflexion d'axe cette droite.

  s_{\Delta} \circ s=r est la rotation de centre A et d'angle 2\,\theta (c'est du cours avec la composition de deux réflexions d'axes sécants).

  et on a donc s_{\Delta}=r\circ s

  Sur le dessin:

   M'_1=s(M) et r(M'_1)=M' (et donc (\vec{AM'_1},\vec{AM'}) =2\,\theta)

  On a bien s_{\Delta}(M)=(r\circ s)(M)=r[s(M)]=r(M'_1)=M'
  

Posté par
carpediem
re : Réflexion et complexes 02-04-20 à 13:21

c'est d'autant plus triste de ne pas comprendre les démonstrations des autres intervenants et ce d'autant plus  que ma proposition ne parle pas de rotation et ne fait intervenir que :

la définition d'une réflexion (niveau collège)
l'interprétation géométrique de bases des complexes : affixe d'un point ou d'un vecteur et colinéarité (niveau première)
la notation exponentielle d'un complexe (niveau terminale)

et ce d'autant plus avec le graphique de 22 h 27 ...

Posté par
Ramanujan
re : Réflexion et complexes 03-04-20 à 03:29

Lake merci ! Je vais étudier mon cours sur les isométries vectorielles pour l'explication sur l'angle 2 \theta.

Carpediem
C'est incompréhensible votre équation avec les z+z'-2a je ne sais pas pas ce que vous êtes en train de faire.

Posté par
carpediem
re : Réflexion et complexes 03-04-20 à 12:26

à peine de niveau collège avec ton graphique de 22 h 27 ...

mais donc ça veut dire que tu ne comprends pas les dessins que tu fais ...

Posté par
XZ19
re : Réflexion et complexes 03-04-20 à 12:33

Bonjour
@Ramanudjan  c'est l'élève qui évalue le professeur. S'il l'élève ne comprend pas alors le professeur n'est pas bon.

C'est ainsi qu'en général que la courbe de Gauss des notes des élèves est translatée vers la droite.

Posté par
matheuxmatou
re : Réflexion et complexes 03-04-20 à 17:55

je pense que si il avait été capitaine du Titanic, c'est l'iceberg qui aurait eu tort

Posté par
luzak
re : Réflexion et complexes 03-04-20 à 18:05

Ce qui est bien le cas : les feux de signalisation de l'iceberg étaient éteints (en tout cas sur le film- pour la situation réelle, pas de témoin).

Posté par
XZ19
re : Réflexion et complexes 03-04-20 à 18:16

Le capitaine savait que l'été était dans l'hémisphère sud. Mais  il ne pouvait pas prévoir la présence d'icebergs sur sa route.  En effet, le cours sur l'inversion des saisons était seulement dans le chapitre suivant de son livre.

Posté par
matheuxmatou
re : Réflexion et complexes 03-04-20 à 18:19

Posté par
lake
re : Réflexion et complexes 04-04-20 à 01:14

>>Ramanujan,

Relativement à la figure de 11h31:

Le cercle passant par les trois points M,M'_1 et M' est centré en A.

  Je vois un angle au centre de mesure 2\,\theta et un angle inscrit (avec des côtés perpendiculaires) de mesure \theta.



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