Bonjour,
Soit et . Prouver que l'image du complexe par la réflexion dont l'axe est la droite passant par et dirigée par vérifie :
Je ne comprends pas le corrigé suivant. J'ai vu d'autres corrigés encore plus compliqués qui faisaient des composées de 4-5 applications, incompréhensible.
Considérons le changement de variable pour se ramener au cas où c'est-à-dire à la réflexion suivant l'axe des réels.
L'image du complexe vérifie
Comment on peut faire un changement de variable d'une droite ? Je n'arrive pas à comprendre cette histoire de changement de variable.
Hello!
Si tu fais un dessin :
Pour passer du repère complexe classique au repère centré en a, donc l'axe des abscisses est la droite d en question, tu vois bien qu'il faut d'abord translater l'axe de réels, puis faire une rotation d'angle theta
On est ok jusque là?
Ainsi, pour connaitre l'affixe z' d'un point z dans le repère R, et ce dans le repère R' tu as
Pour la preuve si t'es pas convaincu tu peux remarquer que f est forcément une similitude donc s'écrit sous la forme , que et
Dans le repère R', la réflexion par rapport à d est donc tout simplement donnée par
Pardon
Pour la preuve si t'es pas convaincu tu peux remarquer que f est forcément une similitude donc s'écrit sous la forme , que et pour tout r réel
C'est mieux
sinon, pour Ramanujan qui aime les trucs calculatoires (puisque la solution esthétique des composées de translations / réflexion / rotation ne lui plait pas ...!) on peut aussi y aller de façon bourin !!
la réflexion dont il parle est une similitude indirecte
donc son expression complexe est du type
il suffit de dire que g(a)=a et que g(a+ei)= a+ei
pour trouver et
et l'expression cherchée !
@Matheux
Je n'ai jamais vu le résultat que vous donner, ce n'est pas dans mon cours. Donc je n'ai pas compris.
Je n'ai pas compris vos solutions utilisant les similitudes. Je ne comprends rien aux équations avec
Dans mon cours j'ai juste est une symétrie d'axe (Oi).
Bonjour !
Un grain de sel qui ne coûte rien :
donc
( est bissectrice d'un angle de vecteurs)
ce qui donne (il suffit de savoir calculer l'argument d'un conjugué et d'un produit)
ça fait déjà 3 méthodes avec celle de lionel52, celle de luzak et la mienne !
allez, je ne résiste pas à celle avec les composées ... aisée à comprendre avec la jolie figure que Ramanujan a posté...
je lui laisse le soin de faire les figures intermédiaires...
on translate du vecteur (-a) : z z-a (et A vient en O)
puis on tourne la figure de - autour de O : ze-i (z-a)
l'axe de réflexion est donc maintenant l'axe des abscisses
on symétrise par rapport à l'axe des abscisses :
on pivote de autour de O :
puis on translate de (a)... et on arrive sur z' ... d'où :
et donc la formule demandée
salut
par définition d'une réflexion la demi somme des affixes d'un point et de son image est un point de l'axe
or le crochet est réel ...
C'est une habitude (très mauvaise). Et je n'ai pas encore regardé les autres forums où il fait la même chose!
Rebonjour
@Ramanudjan :::::
1. D'abord tu fais une translation t de vecteur (i.e ) ce qui ramène a en l'origine 0.
2. Ensuite tu fais une rotation r d'angle : (i.e )
L'axe de symétrie D qui passe par A est qui fait un angle avec l'axe a donc pour image par l'axe .
C'est pas difficile de voir que est le symétrique de par rapport à Ox.
C'est à dire que
ou encore à finir
Bonjour,
Autre méthode:
Soit la réflexion d'axe l'axe des réels d'écriture complexe
où est la rotation de centre , d'angle et d'écriture complexe
et d'écriture complexe
étant invariant par , on a
Puis par différence
Ok désolé mais Lionel m'a dit qu'il voulait plus m'aider donc j'ai demandé ailleurs.
@Luzak.
Merci mais je penserai jamais à ce genre de méthode astucieuse.
@Matheux.
Ok merci j'ai capté.
@Lake
Joli raisonnement. J'arrive à suivre sauf une étape :
Je n'ai pas compris pourquoi
J'ai fait un dessin c'est pas la rotation d'angle ?
Je ne vois pas comment montrer que ni comment montrer que
Avec ton dessin, tu t'es occupé de et non de
Oui c'est un résultat du cours. C'est démontré dans un autre chapitre en utilisant des matrices de symétrie.
J'ai réussi à montrer ces résultats avec de la géométrie de collège,
J'ai lu un autre corrigé qui ressemble à votre méthode Lake, mais je n'ai pas vraiment compris.
Soit la réflexion d'axe la droite passant par et dirigée par et la réflexion d'axe la droite passant par et dirigée par . Et la rotation de centre et d'angle .
On sait que
Je n'ai pas compris pourquoi. Ce n'est pas naturel de considérer cette symétrie, pourquoi dirigée par 1 ?
Bref, je ne vois pas comment on peut sortir une telle solution.
Bonjour,
la symétrie par rapport à l'axe des réels est la conjugaison.
C'est pour ça que l'on prend l'axe dirigé par 1.
C'est quasiment la même chose:
Mon point se retrouve en , centre de et l'écriture complexe de est
Si bien qu'on a directement d'écriture complexe
Bonjour
Pour résumé, je ne connais pas très bien le niveau du Capes, mais ça ressemblerait à une première question?
@Lake
Joli dessin mais c'est où que vous utilisez l'axe dirigé par 1. Ça veut dire quoi un axe dirigé par 1 ?
C'est votre droite d'équation y=2,7 sur le dessin ?
Par ailleurs, comment savez vous que l'angle que vous avez représenté vaut ?
Oui je suis nul en géométrie
Ce sont les premières questions d'une épreuve de Centrale MP.
c'est d'autant plus triste de ne pas comprendre les démonstrations des autres intervenants et ce d'autant plus que ma proposition ne parle pas de rotation et ne fait intervenir que :
la définition d'une réflexion (niveau collège)
l'interprétation géométrique de bases des complexes : affixe d'un point ou d'un vecteur et colinéarité (niveau première)
la notation exponentielle d'un complexe (niveau terminale)
et ce d'autant plus avec le graphique de 22 h 27 ...
Lake merci ! Je vais étudier mon cours sur les isométries vectorielles pour l'explication sur l'angle .
Carpediem
C'est incompréhensible votre équation avec les je ne sais pas pas ce que vous êtes en train de faire.
à peine de niveau collège avec ton graphique de 22 h 27 ...
mais donc ça veut dire que tu ne comprends pas les dessins que tu fais ...
Bonjour
@Ramanudjan c'est l'élève qui évalue le professeur. S'il l'élève ne comprend pas alors le professeur n'est pas bon.
C'est ainsi qu'en général que la courbe de Gauss des notes des élèves est translatée vers la droite.
Ce qui est bien le cas : les feux de signalisation de l'iceberg étaient éteints (en tout cas sur le film- pour la situation réelle, pas de témoin).
Le capitaine savait que l'été était dans l'hémisphère sud. Mais il ne pouvait pas prévoir la présence d'icebergs sur sa route. En effet, le cours sur l'inversion des saisons était seulement dans le chapitre suivant de son livre.
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