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règle de dédoublement des termes

Posté par chlomolamb (invité) 26-06-06 à 16:49

bonjour

connaissez vous une démonstration qui justifie l'utilisation de la très utile règle de dédoublement des termes pour connaitre l'equation de la tangente à une courbe du second degré.
merci et bon après midi

Posté par
ottore : règle de dédoublement des termes 26-06-06 à 16:55

Bonjour,
je ne connais pas cette règle, peux tu expliquer en quoi elle consiste s'il te plait?
a+

Posté par chlomolamb (invité)re : règle de dédoublement des termes 26-06-06 à 17:07

par exple si l'eq d'une conique est x^2/a^2+y^2/b^2+2cx+2dy+exy+f=0
alors la tangente en m0 de coordonnées x0,y0 s'obtient en remplaçant dans l'equation:
x^2 par x*x0
y^2...
xy par x0*y0
2cx par c(x+x0)
etc

ca parait magique mais ca marche et c'est drolement efficace

Posté par chlomolamb (invité)re : règle de dédoublement des termes 26-06-06 à 17:13

excuse moi il y a une erreur en fait xy devient     1/2(x0*y+x*y0)

Posté par
ottore : règle de dédoublement des termes 26-06-06 à 18:18

A vrai dire, je ne connais pas çà.
Celà étant çà me fait beaucoup penser à l'expression de la forme bilinéaire symétrique à partir de la forme quadratique associée, et je ne serai pas surpris s'il y'avait un vrai rapport avec ceci.
Peut être que ca pourrait être intéressant de chercher dans ce sens là.
a+

Posté par
Fractalre : règle de dédoublement des termes 28-06-06 à 15:41

Bonjour, une démonstration de mon cru assez "bourrine" et très peu rigoureuse :
Soit ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 une équation de la conique.
On suppose que la tangente au point (x0,y0) n'est pas verticale.

On se place au voisinage de x0.
by^2+(cx_0+e)y+ax_0^2+dx_0+f=0
\Delta=c^2x_0^2+2cex_0+e^2-4bax_0^2-4bdx_0-4bf
y=\frac{-cx_0-e\pm \sqrt{\Delta}}{2b} avec \pm\sqrt{\Delta}=2by_0+cx_0+e

On peut calculer la dérivée de y en x0.
y'(x_0)=\frac{1}{2b}\(-c\pm\frac{2c^2x_0+2ce-8bax_0-4bd}{2\sqrt{\Delta}}\)
y'(x_0)=\frac{1}{2b}\(-c+\frac{c^2x_0+ce-4bax_0-2bd}{2by_0+cx_0+e}\)
y'(x_0)=\frac{1}{2b}\(\frac{-2bcy_0-4bax_0-2bd}{2by_0+cx_0+e}\)=\frac{-cy_0-2ax_0-d}{2by_0+cx_0+e}

On en déduit qu'une équation de la tangente en (x0,y0) est
y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0
y(2by_0+cx_0+e)=(-cy_0-2ax_0-d)(x-x_0)+y_0(2by_0+cx_0+e)
2byy_0+cx_0y+ey+cxy_0-cx_0y_0+2axx_0-2ax_0^2+dx-dx_0-2by_0^2-cx_0y_0-ey_0=0
2axx_0+2byy_0+c(x_0y+xy_0)+d(x-x_0)+e(y-y_0)-2ax_0^2-2by_0^2-2cx_0y_0=0
Or ax_0^2+by_0^2+cx_0y_0=-dx_0-ey_0-f
Donc 2axx_0+2byy_0+c(x_0y+xy_0)+d(x-x_0)+e(y-y_0)+2dx_0+2ey_0+2f=0

L'équation devient donc 2axx_0+2byy_0+c(x_0y+xy_0)+d(x+x_0)+e(y+y_0)+2f=0 soit axx_0+byy_0+\frac{1}{2}c(x_0y+xy_0)+\frac{1}{2}d(x+x_0)+\frac{1}{2}e(y+y_0)+f=0

CQFD

Il y a sûrement bien plus simple, plus agréable et plus rigoureux, mais je ne m'y connais pas en coniques alors voilà...

Fractal

Posté par neo (invité)re : règle de dédoublement des termes 28-06-06 à 16:09

salut tout le monde,

Fractal, je vais juste illustrer par quelques exemples :

Soit \fbox{4$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}.
Déterminons l'équation de la tangente en 4$(x_o,y_o)

Pour tout 4$t\in \mathbb{R}, posons 4$M(t_o)=\{{x=a cos(t)\atop y=b sin(t)}
On a donc 4$M'(t_o)=\{{x'=-a sin(t)\atop y'=b cos(t)}

Déterminons l'équation de la tangente 4$T_o à l'ellipse au point 4$M(x_o,y_o)

4$X\(x\\y\) \in T_o si et seulement si 4$\vec{M(t_o)X} est colinéaire à 4$\vec{M'(t_o)} (faire un dessin et c'est flagrant!)

Cette condition se traduit donc par 4$\[\array{x-x(t_o)&x'(t_o)\\y-y(t_o)&\ y'(t_o)}\]=0   (c'est un déterminant)

On a donc 4$\[\array{x-a cos(t_o)&-a sin(t_o)\\y-b sin(t_o)&\ b cos(t_o)}\]=0

On a donc 4$b cos(t_o)x+a sin(t_o)y=ab et donc 4$\frac{cos(t_o)x}{a}+\frac{sin (t_o)y}{b}=1  (car 4$a\neq 0 et 4$b \neq 0)

Or, \fbox{4$cos(t_o)=\frac{x(t_o)}{a}} et \fbox{4$sin(t_o)=\frac{y(t_o)}{b}}

Finalement, l'équation de la tangente en 4$T_o est \fbox{4$\frac{xx(t_o)}{a^2}+\frac{yy(t_o)}{b^2}=1}

Sauf erreur
Neo

Posté par neo (invité)re : règle de dédoublement des termes 28-06-06 à 16:31

Autre exemple :

Pour la parabole d'équation \fbox{4$y^2=2px}, déterminons l'équation de la tangente 4$T_o au point 4$M(x_o,y_o)
Pour tout 4$t \in \mathbb{R}, on pose 4$\{{x=\frac{1}{2p}t^2\atop y=t}

4$X\(x\\y\) \in T_o si et seulement si 4$\[\array{x-x_o&x'_o\\y-y_o&y'_o}\]=0

On a donc 4$\[\array{x-\frac{1}{2p} t_o^2&\frac{t_o}{p}\\y-t_o&1}\]=0

En développant, on a donc : 4$x-t_o^{2}(\frac{1}{2p}-\frac{1}{p})-\frac{y}{p}t_o=0

Soit 4$x+\frac{t_0^{2}}{2p}=\frac{y}{p}t_o.

Or, 4$x_o=\frac{t_o^{2}}{2p} et 4$y_o=t_o

Finalement, on a donc : 4$\fbox{4$yy_o=p(x+x_o)}

Sauf erreurs.

Neo

Posté par
Tigweg Correcteurre : règle de dédoublement des termes 28-06-06 à 16:34

Salut à tous,


j'ai trouvé ce lien sur google qui devrait t'intéresser, Chlomolamb;
tout est traité de façon élémentaire, parfois même un peu trop, mais les idées intuitives sont là:

http://www.lamfa.u-picardie.fr/schapira/enseignement/cours_courbes2006.pdf.

Je te recommande en particulier les pages 21 et 22 du document, qui comportent quelques mises en garde

Tigweg

Posté par neo (invité)re : règle de dédoublement des termes 28-06-06 à 18:37

Je n'arrive pas à ouvrir le lien que tu proposes Tigweg !!

Posté par
Fractalre : règle de dédoublement des termes 28-06-06 à 18:50



Fractal

Posté par neo (invité)re : règle de dédoublement des termes 28-06-06 à 18:59

merci

Posté par neo (invité)re : règle de dédoublement des termes 28-06-06 à 19:02

au fait Fractal, belle démo

Posté par
Tigweg Correcteurre : règle de dédoublement des termes 28-06-06 à 19:13

en fait j'ai tapé "regle de dedoublement des termes tangente" sur google et c'est le 7ème lien indiqué, un fichier pdf ayant pour titre
"methodes experimentales Etudes des courbes planes".

C

Posté par
Tigweg Correcteurre : règle de dédoublement des termes 28-06-06 à 19:14

Désolé, j'ai fait une fausse manip...
Ca devrait marcher...Non?

tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : règle de dédoublement des termes 28-06-06 à 19:15

Ah ben j'avais pas vu que fractal t'avait déjà fourni le lien
Hello Fractal

Posté par
Fractalre : règle de dédoublement des termes 28-06-06 à 19:22

Salut à tous les deux

Citation :
belle démo

Merci , mais il doit y avoir beaucoup plus joli comme démo...

Fractal

Posté par
flajare : règle de dédoublement des termes 29-06-06 à 19:54

Bonjour,
le lien http://www.lamfa.u-picardie.fr/schapira/enseignement/cours_courbes2006.pdf est un peu long à charger.

On peut trouver une formule plus générale pour la tangente :
Soit f(x,y) = 0 l'équation de la courbe :
M(x_0,y_0) et M[x_0,y_0]+dM \in Courbe et la tangente
D'où le système à résoudre :
f(x_0,y_0) = 0
f(x_0+dx,y_0+dy) = f(x_0,y_0) + \frac{\part f(x_0,y_0)}{\part x}dx + \frac{\part f(x_0,y_0)}{\part y}dy
Soit
\frac{\part f(x_0,y_0)}{\part x}dx + \frac{\part f(x_0,y_0)}{\part y}dy = 0
\frac{dy}{dx} est la pente de la tangente d'où son équation :
\frac{\part f(x_0,y_0)}{\part x}(x-x_0) + \frac{\part f(x_0,y_0)}{\part y}(y-y_0) = 0
Cas particulier de la conique :
Dans le cas ax^2+bxy+cy^2+d=0 \Rightarrow (2ax_0+by_0)(x-x_0) + (bx_0+2cy_0)(y-y_0)
Dans le cas f-xy=0 \Rightarrow (x-x_0)y_0 + (y_y_0)x = xy_0+yx_0 - 2x_0y_0
Mais dans le cas f-x=0 \Rightarrow (x-x_0)1 = 2xx_0 - 2x_0^2

Posté par
flajare : règle de dédoublement des termes 29-06-06 à 20:08

J'ai posté prématurément ! voici la fin
Cas particulier de la conique :
Dans le cas ax^2+bxy+cy^2+d=0 \Rightarrow (2ax_0+by_0)(x-x_0) + (bx_0+2cy_0)(y-y_0) = 0
Soit 2axx_0 + b(xy_0+yx_0) + 2cyy0 - 2ax_0^2 -2bx_0y_0 -2cy_0^2 = 0
Or ax_0^2 + bx_0y_0 + cy_0^2 + d = 0
D'où : 2axx_0 + b(xy_0+yx_0) + 2cyy0 + 2d = 0

Posté par
RectangleGradient 19-10-11 à 11:39

Cette formule se montre avec le gradient.

Le gradient de la fonction f qui a (x,y) associe x^2/a^2+y^2/b^2+2cx+2dy+exy+f  est normal aux lignes de niveau de f (propriété du gradient).
La conique est la ligne de niveau 0, car son équation est f(x,y)=0.

Le gradient de f est un vecteur de coordonnées (df/dx;df/dy).
C'est donc un vecteur normal de la tangente, donc la tangente a pour équation :
df/dx * x + df/dy * y + cte = O

On divise pas 2 cette équation pour obtenir la règle du dédoublement. On vérifie que la constance cte/2 vaut bien f, car le point (x0,y0) appartient à la tangente et à la courbe.


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