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Règles sur les sommes -- Binôme de newton

Posté par
Dreamland 04-07-09 à 18:32

Je savais pas trop où demander, de l'espace lycée à l'espace supérieur, donc je m'excuse d'avance si je me trompe.

Donc, dans un problème de linéarisation d'expression trigo, à un moment, dans mon bouquin, ils posent E= (sin )n

Ensuite, en utilisant le binôme de newton, on arrive à

E=(\frac{e^(i\theta)-e^(-i\theta)}{2i})^n= \frac{1}{2i^n}\Bigsum_{k=0}^n (-1)^k \(n\\k\) e^{i(n-2k)\theta}

Ensuite on suppose que n est pair, et que donc n = 2p. On remplace ..

E=\frac{(-1)^p}{2^{2p}}\Bigsum_{k=0}^{2p} (-1)^k \(2p\\k\) e^{i2(p-k)\theta}                       (1)

Jusque là, tout va bien. Ensuite je bloque, j'arrive pas à passer de l'équation précédente à celle-là :

E=\frac{1}{2^{2p}}\Bigsum_{k=-p}^p (-1)^k \(2p\\{p-k}\) e^{i2k\theta}                               (2)

"On sépare le terme k = 0, puis on peut regrouper les termes deux à deux conjugués. On obtient :"

E=\frac{1}{2^{2p}}\(2p\\{p}\) + \frac{1}{2^{2p-1}} \Bigsum_{k=1}^p (-1)^k \(2p\\{p-k}\)cos(2k\theta)            (3)

En gros, je n'arrive ni à passer de (1) à (2), ni de (2) à (3). Je pense juste que je ne connais pas les règles des sommes, et que donc j'ai du mal à passer de \Bigsum_{k=0}^{2p} à \Bigsum_{k=-p}^p .

Un ptit coup de pouce svp

PS : le LaTeX c'est génial, je l'avais jamais utilisé avant

Posté par
infophilere : Règles sur les sommes -- Binôme de newton 04-07-09 à 18:47

Bonjour

C'est un changement de variable.

Posté par
dolmare : Règles sur les sommes -- Binôme de newton 04-07-09 à 20:44

Salut Dreamland,

Comme l'a dit infophile, c'est un changement de variable.

Mais bon, apparemment t'es en terminale donc je sais pas si t'as vu ça. Je vais supposer que non et (tenter de ) te l'expliquer.

* T'as deux façons de voir ça, soit t'écris ton changement de variable et tu fait toutes les étapes(ce que je te conseille de faire si tu ne les maîtrise pas), soit t'écris tout de suite la nouvelle somme.

Bon, là on va le faire pas a pas histoire que tu comprennes :

Deja, il faut savoir qu'une somme, comme tout objet mathematique, est definie par certains elements.
Dans une somme, tu as donc :

-Des bornes
-Une variable (muette)
-Une expression

Donc, tu as besoin des trois pour définir ta somme. Et le changement de variable consiste a modifier la variable, ce qui va modifier les deux autres éléments.
Le but, c'est donc de trouver leur nouvelle expression.

1) Tu poses d'abord ton changement de variable :

En l'occurence c'est 3$k=p-k, mais ça embrouille souvent quand on l'écrit comme ça dès le début (parce que la variable de départ et d'arrivée ont le même nom) donc nous on va plutôt écrire ça : 3$k=p-u.

Ici, k est "l'ancienne" variable et u la "nouvelle".

2) Maintenant, et je te conseille de commencer par cette étape (parce que c'est celle que t'as le plus de chances de zapper si tu fais pas attention), on va chercher les nouvelles bornes :

On cherche donc entre quelles valeurs varie u.

Or, on sait que 3$k=p-u, donc 3$u=p-k

Et on connait les bornes de k, on va donc en deduire les bornes de u :

\{\array{si\ k=0\ \ \ alors\ \ \ u=p-0=p\\si\ k=2p\ \ \ alors\ \ \ u=p-2p=-p}

Et voila, les nouvelles bornes sont p et -p.

3) Maintenant, on cherche la nouvelle expression de la somme :

Il suffit de reécrire l'ancienne expression en remplaçant k par p-u :

3$\Bigsum_{k=0}^{2p}~(-1)^k\(\array{2p\\k}\)e^{i2(p-k)\theta}\ \ =\ \ \Bigsum_{u=p}^{-p}~(-1)^{p-u}\(\array{2p\\p-u}\)e^{i2(p-(p-u))\theta}\ \ =\ \ \Bigsum_{u=p}^{-p}~(-1)^p(-1)^{-u}\(\array{2p\\p-u}\)e^{i2u\theta}\ \ =\ \ \Bigsum_{u=p}^{-p}~(-1)^p(-1)^u\(\array{2p\\p-u}\)e^{i2u\theta}

Et maintenant, comme je l'ai dit plus tot et comme tu dois le savoir, u est une variable muette, on peut donc remettre k a la place de u.

Donc, 3$E\ =\ \frac{(-1)^p}{2^{2p}}\Bigsum_{k=p}^{-p}~(-1)^p(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)e^{i2k\theta}

Comme c'est un somme et que l'addition dans est commutative, on peut changer l'ordre des bornes et ecrire :

3$E\ =\ \frac{(-1)^p}{2^{2p}}\Bigsum_{k=-p}^{p}~(-1)^p(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)e^{i2k\theta}

Maintenant on peut sortir le (-1)^p de la somme vu qu'il ne depend pas de k et ca donne :

3$E\ =\ \frac{(-1)^{2p}}{2^{2p}}\Bigsum_{k=-p}^{p}~(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)e^{i2k\theta}

Or, (-1)^{2p}=1

Et voila, tu retrouves ton expression du (2) :

3$\fbox{E\ =\ \frac{1}{2^{2p}}\Bigsum_{k=-p}^{p}~(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)e^{i2k\theta}}

Bon ca c'est fait.

* Maintenant, pour passer du (2) au (3), on te dit de sortir le terme correspondant a k=0.

En fait, on te demande de faire ca pour n'avoir que les termes "symétriques", je m'explique :

Tes termes correspondent aux indices :

-p , -(p-1) , -(p-2) , ... , -1 , 0 , 1 , ... , (p-2) , (p-1) , p

Tu vois bien que tu as tous les termes de gauche et droite qui sont les mêmes au signe près, a part le 0 au milieu qui nous dérange. Donc, on le sort.

Maintenant on va séparer la somme en 3, les termes avant 0, celui en 0, et ceux après 0 :

3$E\ =\ \frac{1}{2^{2p}}\(\Bigsum_{k=-p}^{-1}~(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)e^{i2k\theta}\ +\ (-1)^0\(\array{2p\\p}\)e^{i2\theta .0} +\ \Bigsum_{k=1}^{p}~(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)e^{i2k\theta}\)

3$=\ \frac{1}{2^{2p}}\(\array{2p\\p}\)\ +\ \frac{1}{2^{2p}}\(\Bigsum_{k=-p}^{-1}~(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)e^{i2k\theta}\ +\ \Bigsum_{k=1}^{p}~(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)e^{i2k\theta}\)

Maintenant on va prendre la premiere somme et l'appeler S1, on va ensuite, dans cette somme, effectuer le changement de variable 3$k=-u.

Je passe les calculs, tu devrais pouvoir les faire en faisant comme pour l'autre, et on trouve alors :

3$S1\ =\ \Bigsum_{k=1}^{p}~(-1)^k\(\array{2p\\p+k}\)e^{-i2k\theta}

Or, on sait que 3$\forall (n,p)\in\mathbb{N}^2 ,\ \(\array{n\\p}\)=\(\array{n\\n-p}\)

Donc, ici on a : 3$\(\array{2p\\p+k}\)=\(\array{2p\\2p-(p+k)}\)=\(\array{2p\\p-k}\)

Donc, 3$S1\ =\ \Bigsum_{k=1}^{p}~(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)e^{-i2k\theta}

On remplace donc dans E et on a :

3$E\ =\ \frac{1}{2^{2p}}\(\array{2p\\p}\)\ +\ \frac{1}{2^{2p}}\(\Bigsum_{k=1}^{p}~(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)e^{-i2k\theta}\ +\ \Bigsum_{k=1}^{p}~(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)e^{i2k\theta}\)

3$=\ \frac{1}{2^{2p}}\(\array{2p\\p}\)\ +\ \frac{1}{2^{2p}}\Bigsum_{k=1}^{p}~(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)\(e^{-i2k\theta}\ +\ e^{i2k\theta}\)

Or, on sait que : 3$\forall k\in [|1,p|],\ \(e^{-i2k\theta}\ +\ e^{i2k\theta}\)=2cos(2k\theta)

Donc, 3$=\ \frac{1}{2^{2p}}\(\array{2p\\p}\)\ +\ \frac{1}{2^{2p}}\Bigsum_{k=1}^{p}~(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)\(2cos(2k\theta)\)

Donc, en sortant le 2 de la somme :

3$=\ \frac{1}{2^{2p}}\(\array{2p\\p}\)\ +\ \frac{2}{2^{2p}}\Bigsum_{k=1}^{p}~(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)cos(2k\theta)

Et donc, tu retrouves ton equation (3) :

3$\fbox{E\ =\ \frac{1}{2^{2p}}\(\array{2p\\p}\)\ +\ \frac{1}{2^{2p-1}}\Bigsum_{k=1}^{p}~(-1)^k\(\array{2p\\p-k}\)cos(2k\theta)}

Et voila, bon j'ai un peu allongé les calculs. Avec le temps ca ne te prendra que quelques lignes crois moi, mais au debut vaut mieux tout ecrire, quitte a passer un tout petit plus de temps, pour eviter de te planter dans les indices .

A plus
Jo

Posté par
Dreamlandre : Règles sur les sommes -- Binôme de newton 05-07-09 à 17:04

Effectivement, en sortant de terminale, on se rend compte qu'on a pas vu grand chose ...

En tout cas, un grand merci, j'ai tout compris ! Je le refais un petit peu plus tard du début pour être sûr de pouvoir le refaire facilement.

Explications très claires, c'était génial, merci

Posté par
dolmare : Règles sur les sommes -- Binôme de newton 05-07-09 à 17:08

De rien de rien, c'était le but en même temps .


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