Bonjour
tu peux voir ça comme un problème de projection orthogonale dans un espace de dimension n = le nombre de points dont tu disposes. On commence par mettre l'équation de plan cherchée sous la forme z = ax + by + c

tu fabriques des vecteurs : 1 = (1,1,1...1) (autant de 1 que tu as de points), (les abscisses de tes points), (les ordonnées de tes points), (les cotes de tes points).

tu cherches à minimiser , qui peut être vue comme (dans notre espace à n dimensions.)

le minimum est atteint lorsque aX+bY+c1 est le projeté orthogonal de Z sur l'espace engendré par X, Y et 1, ce qui donne



où ( .|. ) désigne le produit scalaire à n dimensions (par exemple, )

tu résous ce système et tu trouves a, b et c

Bonjour,

ce problème de régression par la méthode des moindres carrés des distances vraies (orthogonales) est usuellement résolu par des méthodes itératives.
Un calcul direct (sans itération) est possible grâce aux formules données dans l'article suivant :
"Régressions et prajectoires 3D" par le lien :
http://www.scribd.com/people/documents/10794575-jjacquelin

Jja, quel intérêt de répondre (un poil hors sujet , au demeurant) à un topic vieux de plus de deux ans, posté par un membre vert (c'est -à-dire plus connecté à l'île depuis au moins 6 mois) ?

Bonjour,
Merci pour la réponse dans ce topic, ça m'a beaucoup aidé!
Cependant, je voulais savoir si la technique utilisée des projections orthogonales pouvait se généraliser , ou s'adapter,pour des régressions quadratiques, ou même d'ordre supérieur.
D'avance merci!
--
Mr Patate

Bonjour, MrPatate

ça peut se généraliser à toutes sortes de modèles, pour peu qu'ils soient linéaires
(chercher un truc genre ax² + by² + cx + dy + e, linéaire par rapport aux indéterminées a,b,c,d,e, par exemple)

et bienvenue sur l'île

en reprenant les vecteurs x,y et z de dimension n*1 crees par Lafol, on cherche effectivement a mininiser l´erreur de l´approximation, nommons la
  R=/Bigsum_{i=1}^n{(e_i)^2}
avec
   e_i=z_i-(ax_i+by_i+c).

Nous avons m=3 parametres a trouver. Pour cela, on va creer la matrice  A de dimension n*m,

A=[x,y,1];

on cree le vecteur M contenant nos m parametres inconnus : M=[a;b;c] de dimension m*1

Si les points sont parfaitement alignes, on voit que cette methode rend le resultat exact avec le systeme suivant :
   A*M=z
Et maintenant, pour trouver les valeurs de M, on multiplie a droite de a gauche par la transposee de A, /A^t, puis par l´inverse de /A^t*A

ce qui nous donne :

    /M=inv(A^t*A)*A^t*z;

En pratique, cela marche pour toute distribution de points, construire A puis calculer M avec la formule precedente. Le vecteur des erreurs commise est
  E=Z-A*M;

Les utilisateurs experimente m´excuseront, je ne sais pas utiliser les representations mathematiques...

En utilisant la methode decrite ci dessus, on obtient d´excellent resultats en un temps de calcul minimum. Je me permet de demander de l´aide sur un autre post(relie a celui ci, donc pas hors sujet) pour evaluer la precision statistique des coefficients de m : voir post "evaluation des coefficient d´une regression multilineaire"

Merci d´avance