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Niveau Reprise d'études-Ter
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Regression linéaire logarithme

Posté par
Mathnovice
03-09-20 à 19:42

Bonjour à tous, voici la source de donnée en PJ, aussi, j'ai travaillé sur quelques questions , (et j'aimerai avoir votre retour), mais aussi je bloque sur une question logarithme (enfin 2).

ENONCE :
En première approximation, il est possible d'envisager de représenter la population y comme une fonction affine de l'année x.

a.Déterminer l'équation de la droite d'ajustement de y en x, sous la forme y = ax+b, obtenue par la méthode des moindres carrés.

--------- J'ai trouvé y = 0.68 x -2.38

b.Quelle prévision ferait-on avec cette approximation pour la population de la région en 2030 ?

-------------- soit 6.46 M habitant

c. En quelle année la population de cette région dépassera-t-elle les 10 millions d'habitants ?

--------- à la 19eme année soit 2029


En deuxième approximation, puisque l'allure du nuage est plutôt exponentielle, on pose zi=ln yi


a. Sans détailler les calculs, donner la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés.

--------Je serai tenté de dire pour la question 2a : z= ln(0.68)ln(x)-ln(2.38)

b. En déduire A et B tels que y=Ae(Bx) (e pour exponentielle)

c. Quelle population prévoir avec ce modèle en 2030 ?

d. En quelle année la population dépassera-t-elle 10 millions d'habitants ?‌


Ici je sèche sur la droite d'ajustement avec le logarithme et avec l'exponentielle.


Pour le 2b, je ne vois pas...

Regression linéaire logarithme

Posté par
hekla
re : Regression linéaire logarithme 03-09-20 à 19:54

Bonsoir  

Vous posez  z_i= \ln y_i donc vous ajoutez une ligne à votre tableau en calculant ces valeurs pour chaque  y_i et
vous calculez la droite de régression comme vous l'avez fait dans la première partie
( la droite était correcte)

Si z_i=\ln y_i que vaut alors y_i en fonction de z_i

Posté par
Mathnovice
re : Regression linéaire logarithme 03-09-20 à 20:07

Bonsoir Hekla et merci de votre rapidité !

Je pense avoir saisi, je fais les calculs et je reviens vers vous !
Pour un soucis de facilité, pourriez-vous me donner une clé de comment je peux faire pour l'exponentielle une fois que j'aurai la droite d'équation (Q2.b)?

En tout cas merci !

Posté par
hekla
re : Regression linéaire logarithme 03-09-20 à 20:11

Quelle définition avez-vous du logarithme ou de l'exponentielle ?

Posté par
Mathnovice
re : Regression linéaire logarithme 04-09-20 à 08:02

Bonjour Hekla,
J'ai trouvé avec z=ln(yi) :

0,08x-0,16

Pour le logarithme je sais que ln (exponentielle (x)) = x

Désolé j'ai du mal...

Posté par
hekla
re : Regression linéaire logarithme 04-09-20 à 11:08

\ln et \exp sont réciproques


a=\ln b \iff  b=\text{e}^{a} \quad b \in \R_+^*

\begin{array}{|*{6}{c|}} \hline\text{année } x_i&7&8&9&10&11\\ \hline y_i&2,5&3&3,6&4,4&5,2\\ \hline z_i&0,92&1,10&1,28&1,48&1,65\\\hline\end{array}

je trouve  z=0,184 x-0,37

Posté par
Mathnovice
re : Regression linéaire logarithme 04-09-20 à 13:54

Merci hekla j'ai bien trouvé ca apres coup... j'ai pris le logarithme et pas le logarithme neperien... a ne surtout pas reproduire !

Par contre je bloque toujours désolé hekla...

Posté par
hekla
re : Regression linéaire logarithme 04-09-20 à 14:36

Je vous avais indiqué  la relation  

Pour obtenir z vous avez pris  le logarithme népérien donc vous avez écrit  z_i=\ln(y_i)

mais si on veut y_i à partir de z_i on va prendre l'exponentielle  

c'est-à-dire y_i=\text{e}^{z_i}

rappel utile  aussi  a^{m+p}=a^m\times a^p

Posté par
Mathnovice
re : Regression linéaire logarithme 04-09-20 à 15:16

Je vous remercie infiniement ...
Donc y= exp (z)
Y= exp (0,184x-0,37)
Y= exp (-0,37) exp (0,184x)

Donc a = -0,37
Et b=0,184?

Posté par
hekla
re : Regression linéaire logarithme 04-09-20 à 18:30

Votre conclusion est fausse

Y=\underbrace{ \text{e }^{ (-0,37)}}_{A}\text{e}^{\underbrace{(0,184)}_{B}x}



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