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Relation binaire

Posté par
Rana 22-03-17 à 15:22

Bonjour, j'ai un exercice à resoudre quelqu'un peut il m'aider?
Dans *+, on definit la realation R par:
xRy<=> x lny=y lnx.
A) montrer que R est une relation d'equivalence.(j'ai sû faire cette partie).
B) decrire l' ensemble quotient.

L'esnsemble quotient={\check{x} tel que x *+}.
On ecrit juste cela?ou quoi encore?

C)trouver la decomposition canonique de l'application suivante:
f :*+->
    x->lnx/x
La decomposition canonique est -ce f=i○ j○ p où p est une surjection j une bijection et i une injection?
j'ai vu que f peut s'ecrire sous la forme de h(x)/eh(x) où h(x) = lnx et je ne sais pas comment continuer.
Pouvez vous m'aider ?
Merci d'avance .

Posté par
jsvdbre : Relation binaire 22-03-17 à 15:40

Bonjour Rana.

Décrire l'ensemble quotient c'est précisément dire ce qu'il y a dans \check{x} pour x variant dans \R_+^*.

La décomposition canonique d'une application f est bien la décomposition que tu donnes. Mais le plus important est de mettre les bons espaces de départ et d'arrivée pour i, j et p !

Posté par
etniopalre : Relation binaire 22-03-17 à 15:56

Spiti f : ]0 , +[   , x   ln(x)/x  .

Pour tout  x > 0 , la classe de x modulo R est f -1(x) .
Tu étudies donc f .

Posté par
Ranare : Relation binaire 22-03-17 à 15:59

Donc on a : b *+ telque x ln b = b ln x
Et on resoud le systeme?

Posté par
jsvdbre : Relation binaire 22-03-17 à 16:10

A partir d'une fonction quelconque, tu peux définir une relation d'équivalence sur l'ensemble de définition de la fonction, par, xRy f(x) = f(y)

Ici, la fonction est f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}. On cherche donc tous les sous-ensembles de \R^*_+ tels que f, restreinte à l'un de ces sous-ensembles, soit constante.

Ainsi, pour b > 0 donné, la classe de b est donc f^{-1}(b). L'étude de f, autrement dit, ses variations, te diront quelles sont ces classes.

Posté par
jsvdbre : Relation binaire 22-03-17 à 16:11

Erratum :

Ainsi, pour b > 0 donné, la classe de b est donc \check b =f^{-1}(\{b\})

Posté par
jsvdbre : Relation binaire 22-03-17 à 16:18

Je vais y arriver :

Ainsi, pour b > 0 donné, la classe de b est donc \check b =f^{-1}(\{f(b)\})

Posté par
ThierryPomare : Relation binaire 22-03-17 à 16:26

Bonjour,

Du boulot : Considérons la surjection canonique \pi:\R^{+*}\to\R^{+*}/\mathcal{R} et x\in\R^{+*} arbitrairement choisi. Posons \overline{x}=\pi(x). Ainsi a-t-on

\pi^{-1}(\{\overline{x}\})=\left\{y:y\in\R^{+*}\text{ et }x\mathcal{R}y\right\}=\left\{y:y\in\R^{+*}\text{ et }x\,\ln\,y=y\,\ln\,x\right\}=\left\{y:y\in\R^{+*}\text{ et }f(x)=f(y)\right\}

Posté par
Ranare : Relation binaire 22-03-17 à 16:32

J'ai cherche le tableau de variation entre ]0;e [ on a une bijection
Donc l'ensemble de quotient est x telque x]0;e[?

Posté par
jsvdbre : Relation binaire 22-03-17 à 16:43

Tu as trouvé que f est :

- strictement croissante de ]0,e[ sur ]-\infty;1/e[

-strictement décroissante de ]e,+\infty[ sur ]1/e;0[

Donc, étant donné un b \in ]-\infty,1/e] combien l'équation \dfrac{\ln(x)}{x} =b possède-t-elle de solutions ? Il faut bien sur faire une discussion sur b

Posté par
Ranare : Relation binaire 22-03-17 à 17:05

Desole je ne comprend pas pourquoi on doit trouver les solutions de b=lnx/x .
Dans notre cours on a juste definit que l'ensemble qotient est l'ensemble de tous les classes d'equivalence c'est pour cela que je ne comprend pas où vous voulez en venir

Posté par
jsvdbre : Relation binaire 22-03-17 à 17:13

Si je te donne une relation d'équivalence sur un ensemble E, c'est quoi une classe d'équivalence ?

Posté par
Ranare : Relation binaire 22-03-17 à 17:16

Si par ex
x E
C'est tout les elements  y   E qui sont en relations avec x c'est a dire x R y

Posté par
jsvdbre : Relation binaire 22-03-17 à 17:58

Ok.
Maintenant, partant d'une fonction f, comment est-ce qu'on bâtit canoniquement une relation d'équivalence sur son ensemble de définition : en posant x R y f(x) = f(y)

Donc, dans une relation d'équivalence définie à l'aide d'une fonction, je vais classer tous les éléments de l'ensemble de définition en sorte que, sur chaque paquet, la fonction f ait une valeur constante.

Donc, étant donné un élément b de l'image de f, alors il existe un élément x_b de l'ensemble de départ tel que f(x_b) = b. Donc la classe d'équivalence de x_b est \check x_b =f^{-1}(\{b\}) puisque tous les éléments de \check x_b vont avoir, par définition la même valeur par f, savoir f(x_b) = b. Par suite, \check x_b = \{x \in D_f~/~f(x) = b\}

On doit donc bien résoudre, pour b dans l'image de f, l'équation f(x) = b

Dans le cas qui nous occupe, j'espère que tu comprends maintenant ...

Rana @ 22-03-2017 à 17:05

...pourquoi on doit trouver les solutions de b=\dfrac{\ln(x)}{x} .


En réalité, on ne peut pas les trouver explicitement toutes, mais on peut dire certaines choses quant au nombre de solutions que l'on peut trouver. C'est l'objet de l'étude des variations de la fonction.

On peut donc dire ceci :

- la classe du réel e est \check e = \{e\}

- la classe de tout x \in ]0,1] est réduite à un élément : \check x =\{x\}

- dans la classe de tout x \in ]1,+\infty[, il y a deux éléments : \check x =\{x,y\} avec y tel que \dfrac{\ln(x)}{x} =\dfrac{\ln(y)}{y}

Posté par
jsvdbre : Relation binaire 22-03-17 à 18:03

Complément :

- dans la classe de tout x \in ]1,+\infty[, il y a deux éléments : \check x =\{x,y\} avec y \neq x tel que \dfrac{\ln(x)}{x} =\dfrac{\ln(y)}{y}

et si on suppose x \in ]1,e[ alors e < y

Posté par
Ranare : Relation binaire 22-03-17 à 20:07

Franchement merciii beaucoup pour toutes ces explications!!
Et maintenant pour la 3eme partie on aura la surjection canonique definie de *+ dans  *+ /R par p(x)=\check{x}
Et la bijection est de *+ /R  dans f(  *+ /R )=]-;1/e[ definie par (x)=f(x)
Et l'injection canonique i:]-;1/e[-> definie par i(f(x))=f(x)
C'est vrai?

Posté par
Ranare : Relation binaire 22-03-17 à 21:23

Rana @ 22-03-2017 à 20:07

definie par i(f(x))=f(x)


Je voulez dire i(x)=x

Posté par
jsvdbre : Relation binaire 23-03-17 à 09:37

Ce n'est pas tout à fait terminé, on a décrit les classes d'équivalence, mais on n'a pas décrit l'ensemble quotient.
En effet, dans chaque classe d'équivalence, on a 1 ou 2 éléments.
Donc, maintenant, il va falloir choisir un représentant de chaque classe d'équivalence. Quand il n'y a qu'un élément, le représentant est vite choisi.
Quand il y en a deux, on va s'arranger pour en choisir un qui donne à l'ensemble quotient l'aspect le plus sympathique possible.
On a vu que si x \in ]0,1] \cup \{e\} alors \check x = \{x\}.
Il reste donc à déterminer des représentants pour tous les autres, savoir x \in ]1,e[ \cup ]e,+\infty[.
Or on a vu que si x \in ]1,e[, \text { alors }\check x = \{x,y\}, y > e. Donc, on va choisir comme représentant, l'élément qui se trouve dans ]1,e[.

On pose alors \blue \boxed {\R^*_+/\mathcal R_f = ]0,e]} où \mathcal R_f est la relation d'équivalence entre éléments x et y de \R^*_+ := x~\mathcal R_f~y \Leftrightarrow f(x) = f(y).

Alors, attention ! Il faut bien que tu comprennes que l'égalité encadrée en bleue n'est pas une véritable égalité mais un abus de langage.

En effet, \R^*_+/\mathcal R_f n'est pas un intervalle de \R^*_+ mais l'ensemble \R^*_+/\mathcal R_f = \{\check x~/~x \in \R^*_+\} mais c'est aussi \R/\mathcal R_f = \{\check x~/~\blue {x \in ]0,e]}\} comme on l'a vu plus haut : la partie en bleue justifie l'abus de langage.

Posons \mathcal L_f = \R^*_+/\mathcal R_f.

Comme l'a rappelé ThierryPoma, on a alors une surjection canonique \pi : \R^*_+ \rightarrow \mathcal L_f,\pi(x) = \check x

Puis, on peut alors définir une bijection canonique b : \mathcal L_f \rightarrow ]-\infty, 1/e]; b(\check x) = f(x)

Enfin l'injection canonique évidente i : ]-\infty, 1/e] \rightarrow \R;i(x) = x.

Ainsi l'on a \blue \boxed {f : \R^*_+ \rightarrow \R; f(x) = (i \circ b \circ \pi)(x)}

Posté par
alainpaulre : Relation binaire 23-03-17 à 10:07

Bonjour,

A l'équation xln(y)=yln(x) nous pouvons donner une solution paramétrée  simple:

x,y,t > 0 ; y=xt  ,xln(xt)=xtln(x)   et quelques calculs plus loin:

x=t^{\frac{t}{1-t}}} , y =t^{\frac{1}{1-t}}} ,dans l'équation les variables x et y sont interchangeables,

nous avons  donc aussi x=t^{\frac{1}{1-t}}} , y =t^{\frac{t}{1-t}}} ,donc  2 solutions,


Alain

Posté par
jsvdbre : Relation binaire 23-03-17 à 10:31

Bonjour alainpaul.
Surprenant, j'ai aussi essayé la paramétrisation et j'ai pas trouvé, et si je reprends tes solutions on doit avoir, au niveau des exposants :

\dfrac{t}{1-t} = \dfrac{1}{1-t}+1=\dfrac{2-t}{1-t} après avoir écrit l'égalité x\ln(y) = y\ln(x) et simplifié par \dfrac{\ln(t)}{1-t} ...

sauf erreur

Posté par
alainpaulre : Relation binaire 23-03-17 à 14:21

Bonjour jsvdb,

Désolé ,une erreur dans mon report de calcul:

Ecartée la valeur t= 1 correspondant à x=y
t >0 ; x=t^{\frac{1}{t-1}} , y =t^{\frac{t}{t-1}}


Amicalement,

Posté par
jsvdbre : Relation binaire 23-03-17 à 15:51

Ecarter t = 1 me semble évident puisque c'est une valeur interdite. Néanmoins :

En supposant t \neq 1 et t \neq 0 il vient :

\begin {aligned}x=t^{\frac{1}{t-1}}, y =t^{\frac{t}{t-1}}, x\ln(y) = y\ln(x) & \Rightarrow t^{\frac{1}{t-1}}.\frac{t}{t-1}.\ln(t) = t^{\frac{t}{t-1}}.\frac{1}{t-1}.\ln(t) \\&\Rightarrow  t^{\frac{1}{t-1}} = t^{\frac{t}{t-1}} \\&\Rightarrow \frac{1}{t-1} =\frac{t}{t-1} \\&\Rightarrow t = 1\text { On peut simplifier puisque }t\neq 1\end {aligned} Absurde.
Donc les x et y paramétrés que tu proposes ne peuvent convenir
Cordialement.

Posté par
Ranare : Relation binaire 23-03-17 à 16:24

Merci beaucoupp!!

Posté par
alainpaulre : Relation binaire 23-03-17 à 16:35

Bonsoir,


Cela marche ,je l'ai vérifié  (sur des valeurs numériques aussi).

Tu as fait une erreur  dans ta première ligne!


Alain

Posté par
jsvdbre : Relation binaire 23-03-17 à 16:59

Bon, je ne vois toujours pas, donc si tu veux bien pointer en rouge ce qui ne va pas, je t'en serai reconnaissant !
Merci à toi.

Posté par
alainpaulre : Relation binaire 23-03-17 à 18:01

Bonsoir,

As-tu vérifié sur des valeurs de t?  

1 ère ligne  t^{\frac{1}{t-1}}\times t = ...



Alain

Posté par
jsvdbre : Relation binaire 23-03-17 à 20:04

Ok ! Vu...
La prochaine fois si tu pouvais montrer l'erreur sans faire de détour ... histoire de pas perdre de temps avec des babioles. 🙂 Merci à toi

Posté par
alainpaulre : Relation binaire 24-03-17 à 10:44

Bonjour,

Il n'y a de ma part aucune arrière pensée ,peut-être maladresse dans mes recopies.

J'ai eu l'occasion de traiter ce problème il y a une bonne quinzaine d'années et
d'échanger à ce sujet sur un site anglophone.

EN RESUME:
L'équation x,y > 0 , x^y=y^x    possède deux solutions :

y=tx ,t > 0 , x=t^\frac{1}{t-1}},y=t^{\frac{t}{t-1}}   et comme les variables x et y
jouent le même rôle dans l'équation:

x=t^\frac{t}{t-1}},y=t^{\frac{1}{t-1}}

\frame{Nous avons là une solution alternative pertinente,}

Alain

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Relation binaire 28-03-17 à 09:22

Bonjour,
pour le paramétrage !

Une petite remarque :

x=t^\frac{t}{t-1}},y=t^{\frac{1}{t-1}} s'obtient à partir de x=t^\frac{1}{t-1}},y=t^{\frac{t}{t-1}} en remplaçant t par 1/t


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