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Relation d'equivalence
Bonjour , voilà un exo sur lequel j'ai besoin d'un peu d'aide , merci.
Exercice 1
Soit l'ensemble A = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. On definit une relation R
par: x R y x - y est multiple de 4
(a) Montrer que R est une relation d'equivalence sur A.
(b) Donner le diagramme cartesien de (A, R).
(c) Determiner, pour chaque element a de A, la classe d'equivalence C(a).
J'ai un peu de mal pour le a) meme si j'ai une idée , le b) pas de probléme et le c) un peu de mal aussi .
xRx ssi x-x est multiple de 4 : c'est oui car x-x=0 qui est bien un multiple de 4 (0=0*4)
xRy ssi x-y est multiple de 4 : donc il existe k dans Z tel que x-y=4k mézalor y-x=4(-k) avec -k dans Z cad y-x est multiple de 4 cad yRx
xRy ssi x-y est multiple de 4 : donc x-y=4k
yRz ssi y-z est multiple de 4 : donc y-z=4k'
d'ou x-y+y-z=4(k+k') cad x-z est multiple de 4 cad xRz
R est une relation d'équivalence sur Z, or A est inclus dans Z donc voila ...
(remarque que c'est un cas particulier de sur
)
merci, c est grossomodo ce que j'avais fait , mais je vois pas pour la c) ce qu'il faut faire :s
Il faut revenir à la définition :
Cl(a)={y dans A tq aRy}={y dans A tq y-a multiple de 4}={y dans A tq y-a=4k}={y dans A tq y=a+4k}=a+4Z
(sauf erreur)
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