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Niveau maths sup
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Relation d'ordre

Posté par
Mathes1
14-01-22 à 18:31

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
On définit sur *
la relation T par :
pT q <=> k*/ q = pk
Montrer que T est une relation d'ordre. Cet ordre est il total ?
_______________________________________
voici mes suggestions
Une relation est dite relation  d'ordre si elle est réflexive , anti symétrique et transitive
•réflexive: (p)* :pTp
pTp<=> k*/ p=pk

•antisymétrique : (p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=> k* /q=pk
qTp<=>k* /p=qk

•transitive: (p,q,n)*3
pTq et qTn => pTn
On a pTq<=> k* / q=pk
qTn<=> k*/ n=qk

Une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
GBZM
re : Relation d'ordre 14-01-22 à 18:47

Bonsoir,

C'est bien tu as correctement fait la liste des choses à vérifier pour montrer que T est une relation d'ordre.  Ce qui me surprend un peu, c'est que tu restes en panne après.

Regarde, la relation pTq, ça veut dire "q est une puissance de p, d'exposant >0".
Peux tu m'indiquer le début de la liste des puissances de p d'exposants >0 ?

Après ça, regardons les vérifications à faire :
Est-ce que p est une puissance de p (quel exposant ?)

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 14-01-22 à 18:59

Bonsoir
Merci beaucoup de m'avoir répondu
D'accord début de la liste des puissances de p d'exposants >0 (k*
Donc k={1,2,3,4,5,......}
pour la réflexivité   k=1 vérifie l'égalité p=pk
Et pour l'antisymétrie aussi k=1 vérifie la relation
pTq<=> k* /q=pk
qTp<=>k* /p=qk
Merci beaucoup

Posté par
bernardo314
re : Relation d'ordre 14-01-22 à 19:17

Bonsoir,

dans antisymétrique il vaut mieux que tu appelles  k  et  k'   les entiers, ce ne sont pas les mêmes à priori.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 14-01-22 à 20:45

Bonsoir,
Pour la réflexivité, il faut démontrer p = q.
Et il ne faudra pas oublier la transitivité.

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 09:29

Bonjour
Merci beaucoup à vous tous

Citation :

C'est pour l'antisymétrie qu' il faut démontrer que p = q.
Et j'ai pas oublier la transitivité.

Ensuite , dans l'antisymétrie k et k' sont les mêmes non ?
Si k=1 ceci vérifie les 3 conditions demandées
Merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 09:31

Non, pas à priori.

Posté par
carpediem
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 13:03

salut

je ne vois aucune démonstration rigoureuse des trois conditions vérifiées par une relation d'ordre ...

tu n'as pas répondu à la question de

GBZM @ 14-01-2022 à 18:47

Regarde, la relation pTq, ça veut dire "q est une puissance de p, d'exposant >0".
Peux tu m'indiquer le début de la liste des puissances de p d'exposants >0 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 15:54

@Mathes1,
Je te suggère de commencer par essayer de "sentir" ce qu'est la relation T en répondant à des questions sur des exemples numériques :
1)a) Démontrer 4 T 1024.
1)b) Pourquoi n'a-t-on pas 2 T 1234567 ?
2)a) Démontrer 3 T 27 et 27 T 729.
2)b) En déduire 3 T 729.
Ça t'aidera peut-être à comprendre ce qu'il faut démontrer dans ton exercice.

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 16:14

1-a) 1024=45

1-b) 1234567 on ne peut pas l'écrire sous forme 2 a la puissance
2-a) 27=33
•729=272

2-b) on a 27=33
Et 729=272
donc 729=272=(33)2=36

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 16:29

Oui
Pour 1)b), on peut rajouter que 2k est pair si k est un entier naturel non nul, alors que 1234567 n'est pas pair.

Dans 2)b), tu as fait intervenir deux valeurs différentes de k : 3 et 2.
Et même une troisième : 6.
C'est pour cela que, depuis le début, on te dit d'utiliser des lettres différentes k et k'.
Ici k = 3 et k' = 2.

Essaye de généraliser l'exemple du 2) pour démontrer la transitivité de T.

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 17:28

Citation :
•réflexive: (p)* :pTp
pTp<=> k*/ p=pk
•antisymétrique : (p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=> k* /q=pk
qTp<=>k'* /p=qk'
•transitive: (p,q,n)*3
pTq et qTn => pTn
On a pTq<=> k* / q=pk
qTn<=> k'*/ n=qk'
donc n=qkk'
Où kk'N*
Donc K* tel que n=pK

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 18:01

J'ai l'impression que tu as compris la transitivité.
Pour la rédaction, des phrases du genre "on veut démontrer que" et "dans ce but, on suppose que" seraient bienvenues.

Attaque toi à antisymétrique maintenant.

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 18:18

Citation :

•antisymétrique : (p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=> k* /q=pk
qTp<=>k'* /p=qk'
donc on veut démontrer que p=q.
Pour cela on a pk =q et p=qk' donc par produit pk+1=qk'+1 or k,k'*
donc p=q

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 18:27

23+1 = 41+1 alors que 2 4.

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 18:52

Citation :

•antisymétrique : (p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=> k* /q=pk
qTp<=>k'* /p=qk'
donc on veut démontrer que p=q.
Pour cela on a pk =q et p=qk' donc par produit pk+1=qk'+1 or k,k'*
donc on pose K=k+1 et K=k'+1
Donc pK=qK donc p=q

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 18:56

Si tu poses K = k+1 alors k'+1 n'a aucune raison d'être le même K.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 19:07

A partir des deux égalités q = pk et p = qk', tu peux obtenir une égalité où un seul des deux entiers p ou q apparaît.

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 19:07

D'accord

Citation :

•antisymétrique : (p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=> k* /q=pk
qTp<=>k'* /p=qk'
donc on veut démontrer que p=q.
Pour cela on a pk =q et p=qk' donc par produit pk+1=qk'+1 or k,k'*
donc on pose K=k+1 et K'
=k'+1
Donc pK=qK' où K,K'*

Posté par
etniopal
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 19:07

    Pour démontrer que T est  antisymétrique :
  On prend  (p , q)  dans *²   vérifiant p T q et q T p .
Il existe donc des entiers r et s  tels que  q = p r et p = qs  .On a donc p =  (pr)s = prs  donc ....??

   Et tu dois indiquer une raison valable pour affirmer que p = q .

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 19:20

Merci beaucoup à vous tous

Citation :

•antisymétrique : (p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=> k* /q=pk
qTp<=>k'* /p=qk'
donc on veut démontrer que p=q.
Pour cela on a pk =q et p=qk'  donc p=pkk'
Et q=qkk' donc par produit pq=pqkk'

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 19:29

p = pkk' donne pkk'-1 = 1
Or ab = 1 avec a et b dans * n'est réalisé que pour peu de valeurs de a ou b.

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 19:49

donc l'ordre est partielle

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 20:38

Ne mélange pas tout.
Tu es en train de traiter l'antisymétrie.

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 20:52

Désolé

Citation :

•antisymétrique : (p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=> k* /q=pk
qTp<=>k'* /p=qk'
donc on veut démontrer que p=q.
Pour cela on a pk =q et p=qk'  donc p=pkk'
Et q=qkk'
p = pkk' donne pkk'-1 = 1
q=qkk' donne qkk'-1=1
Donc pkk'-1=qkk'-1
Ainsi p=q

Merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 15-01-22 à 21:11

20210 = 360 et pourtant 2021 n'est pas égal à 36.

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 16-01-22 à 13:44

Bonjour
On pose kk'-1=K où kk'*
<=> kk'≥1<=> kk'-1≥0 donc kk'-1*

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 16-01-22 à 17:18

Citation :
kk'-1*
Le "donc" est faux.
Il n'est pas impossible que kk'-1 soit égal à 0.

On peut séparer en 2 cas :
a) kk' =1
Alors k = ... et k' = ...
b) kk'-1 1
Alors ...

Posté par
GBZM
re : Relation d'ordre 16-01-22 à 17:28

Bonjour,

Si je peux me permettre, je suggérerais de montrer que si  p T q alors p q.

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 16-01-22 à 17:33

D'accord
Si kk'=1 alors k=1 ou k'=1
en plus p0=q0 est vrai
Si kk'-1≥1 alors kk'-1*

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 16-01-22 à 18:40

Tu peux te permettre GBZM

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 17-01-22 à 16:44

Bonjour
D'accord pT q <=> k*/ q = pk
Et p,q*
Merci pourquoi je vois l'inverse p≥q
Merci beaucoup à tous

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 17-01-22 à 16:59

Regarde un exemple : 81 = 34.
Si q = pk avec k 1 alors q = ppk-1.
p 1 et k-1 0. ; donc pk-1 1.

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 17-01-22 à 17:17

Ah oui c'est vrai donc si  p T q alors p q.
Donc pkk'-1≤qkk'-1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 17-01-22 à 17:21

Repars à zéro pour l'antisymétrie, en utilisant si p T q alors p q.
Ça se traite en 3 lignes maximum.

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 17-01-22 à 17:40

Citation :

•antisymétrique : (p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=> k* /q=pk donc p≤q
qTp<=>k'* /p=qk' alors q≤p
D'où p=q

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Relation d'ordre 17-01-22 à 18:02

Merci GBZM

Posté par
Mathes1
re : Relation d'ordre 17-01-22 à 18:04

C'est juste ce que j'ai fait
Merci à vous deux



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