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Relation d'ordre
Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
On définit sur 
*
la relation T par :
pT q <=> 
k
*/ q = pk
Montrer que T est une relation d'ordre. Cet ordre est il total ?
_______________________________________
• voici mes suggestions
Une relation est dite relation d'ordre si elle est réflexive , anti symétrique et transitive
•réflexive: 
(p)* :pTp
pTp<=> k*/ p=pk
•antisymétrique : (p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=> k* /q=pk
qTp<=>k* /p=qk
•transitive: (p,q,n)*3
pTq et qTn => pTn
On a pTq<=> k* / q=pk
qTn<=> k*/ n=qk
Une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
Bonsoir,
C'est bien tu as correctement fait la liste des choses à vérifier pour montrer que T est une relation d'ordre. Ce qui me surprend un peu, c'est que tu restes en panne après.
Regarde, la relation pTq, ça veut dire "q est une puissance de p, d'exposant >0".
Peux tu m'indiquer le début de la liste des puissances de p d'exposants >0 ?
Après ça, regardons les vérifications à faire :
Est-ce que p est une puissance de p (quel exposant ?)
Bonsoir
Merci beaucoup de m'avoir répondu
D'accord début de la liste des puissances de p d'exposants >0 (k*
Donc k={1,2,3,4,5,......}
pour la réflexivité k=1 vérifie l'égalité p=pk
Et pour l'antisymétrie aussi k=1 vérifie la relation
pTq<=> k* /q=pk
qTp<=>k* /p=qk
Merci beaucoup
Bonsoir,
dans antisymétrique il vaut mieux que tu appelles k et k' les entiers, ce ne sont pas les mêmes à priori.
Bonjour
Merci beaucoup à vous tous
C'est pour l'antisymétrie qu' il faut démontrer que p = q.
Et j'ai pas oublier la transitivité.
Ensuite , dans l'antisymétrie k et k' sont les mêmes non ?
Si k=1 ceci vérifie les 3 conditions demandées
Merci beaucoup
salut
je ne vois aucune démonstration rigoureuse des trois conditions vérifiées par une relation d'ordre ...
tu n'as pas répondu à la question de
Regarde, la relation pTq, ça veut dire "q est une puissance de p, d'exposant >0".
Peux tu m'indiquer le début de la liste des puissances de p d'exposants >0 ?
@Mathes1,
Je te suggère de commencer par essayer de "sentir" ce qu'est la relation T en répondant à des questions sur des exemples numériques :
1)a) Démontrer 4 T 1024.
1)b) Pourquoi n'a-t-on pas 2 T 1234567 ?
2)a) Démontrer 3 T 27 et 27 T 729.
2)b) En déduire 3 T 729.
Ça t'aidera peut-être à comprendre ce qu'il faut démontrer dans ton exercice.
1-a) 1024=45
1-b) 1234567 on ne peut pas l'écrire sous forme 2 a la puissance
2-a) 27=33
•729=272
2-b) on a 27=33
Et 729=272
donc 729=272=(33)2=36
Oui 
Pour 1)b), on peut rajouter que 2k est pair si k est un entier naturel non nul, alors que 1234567 n'est pas pair.
Dans 2)b), tu as fait intervenir deux valeurs différentes de k : 3 et 2.
Et même une troisième : 6.
C'est pour cela que, depuis le début, on te dit d'utiliser des lettres différentes k et k'.
Ici k = 3 et k' = 2.
Essaye de généraliser l'exemple du 2) pour démontrer la transitivité de T.
•réflexive:
(p)* :pTp
pTp<=>
k*/ p=pk
•antisymétrique :
(p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=>
k* /q=pk
qTp<=>
k'* /p=qk'
•transitive:
(p,q,n)*3
pTq et qTn => pTn
On a pTq<=>
k* / q=pk
qTn<=>
k'*/ n=qk'
donc n=qkk'
Où kk'
N*
Donc
K* tel que n=pK
J'ai l'impression que tu as compris la transitivité.
Pour la rédaction, des phrases du genre "on veut démontrer que" et "dans ce but, on suppose que" seraient bienvenues.
Attaque toi à antisymétrique maintenant.
•antisymétrique :
(p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=>
k* /q=pk
qTp<=>
k'* /p=qk'
donc on veut démontrer que p=q.
Pour cela on a pk =q et p=qk' donc par produit pk+1=qk'+1 or k,k'
*
donc p=q
4.•antisymétrique :
(p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=>
k* /q=pk
qTp<=>
k'* /p=qk'
donc on veut démontrer que p=q.
Pour cela on a pk =q et p=qk' donc par produit pk+1=qk'+1 or k,k'
*
donc on pose K=k+1 et K=k'+1
Donc pK=qK donc p=q
A partir des deux égalités q = pk et p = qk', tu peux obtenir une égalité où un seul des deux entiers p ou q apparaît.
D'accord
•antisymétrique :
(p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=>
k* /q=pk
qTp<=>
k'* /p=qk'
donc on veut démontrer que p=q.
Pour cela on a pk =q et p=qk' donc par produit pk+1=qk'+1 or k,k'
*
donc on pose K=k+1 et K'=k'+1
Donc pK=qK' où K,K'
*
Pour démontrer que T est antisymétrique :
On prend (p , q) dans *² vérifiant p T q et q T p .
Il existe donc des entiers r et s tels que q = p r et p = qs .On a donc p = (pr)s = prs donc ....??
Et tu dois indiquer une raison valable pour affirmer que p = q .
Merci beaucoup à vous tous
•antisymétrique :
(p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=>
k* /q=pk
qTp<=>
k'* /p=qk'
donc on veut démontrer que p=q.
Pour cela on a pk =q et p=qk' donc p=pkk'
Et q=qkk' donc par produit pq=pqkk'
p = pkk' donne pkk'-1 = 1
Or ab = 1 avec a et b dans * n'est réalisé que pour peu de valeurs de a ou b.
Désolé
•antisymétrique :
(p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=>
k* /q=pk
qTp<=>
k'* /p=qk'
donc on veut démontrer que p=q.
Pour cela on a pk =q et p=qk' donc p=pkk'
Et q=qkk'
p = pkk' donne pkk'-1 = 1
q=qkk' donne qkk'-1=1
Donc pkk'-1=qkk'-1
Ainsi p=q
Merci beaucoup
kk'-1
*Il n'est pas impossible que kk'-1 soit égal à 0.
On peut séparer en 2 cas :
a) kk' =1
Alors k = ... et k' = ...
b) kk'-1
1
Alors ...
Bonjour
D'accord pT q <=> k*/ q = pk
Et p,q*
Merci pourquoi je vois l'inverse p≥q
Merci beaucoup à tous
pk-1.
Repars à zéro pour l'antisymétrie, en utilisant si p T q alors p 
q.
Ça se traite en 3 lignes maximum.
•antisymétrique :
(p,q)*2 : pTq et qTp => p=q
pTq<=>
k* /q=pk donc p≤q
qTp<=>
k'* /p=qk' alors q≤p
D'où p=q
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