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Relation de Pascal et Factorielles

Posté par
DeFunes43
03-09-08 à 15:05

Bonjour a tous!

J'ai un petit soucis sur un exo de factorielles, je dois prouver que

\(n-1\\p-1\) + \(n-1\\p\) = \(n\\p\)

J'ai mis tout ça en factorielles

\frac{(n-1)!}{(p-1)!((n-1)-(p-1))! + \frac{(n-1)!}{(p)!((n-1)-p)! = \frac{n!}{p!(n-p}!}

En simplifiant, je tombe sur

\frac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!} + \frac {(n-1)!}{P!(n-p-1)!}

A partir de là, je suis completement bloqué...

J'ai essayé la soustraction pour essayer de trouver 0, je tombe dans une impasse, d'additionner les deux fractions, mais rien ne marche


Merci d'avance pour votre aide!

Posté par
Mxx
re : Relation de Pascal et Factorielles 03-09-08 à 15:25



     Bonjour :

on a :  \(n-1\\p-1\)+\(n-1\\p\) = \frac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}+\frac{(n-1)!}{p!(n-1-p)!} .

  =  \frac{p(n-1)!}{p!(n-p)!}+\frac{(n-p)(n-1)!}{p!(n-p)!} .

  =  \frac{p(n-1)!+(n-p)(n-1)!}{p!(n-p)!} .

  =  \frac{n!}{p!(n-p)!} = \(n\\p\) CQFD .


   A+     Mxx .

Posté par
Mxx
re : Relation de Pascal et Factorielles 03-09-08 à 15:28


  Bonjour :

remarquer que :  n! = n(n-1)! .

     A+     Mxx .

Posté par
DeFunes43
re : Relation de Pascal et Factorielles 03-09-08 à 15:38

Je comprends pas du tout comment tu change de dénominateur entre les étapes 1 et 2.

Et non plus comment tu passe de l'étape 3 à l'étape 4 au numérateur... La seule opération que je vois c'est une factorisation par (n-1), mais a priori c'est pas ça...

Dans mon cours je n'ai vu que la formule n!= 1x2x3x...x n, et la relation

\(n\\p\) = \frac{n!}{p!(n-p)!}


Merci beaucoup pour ton aide

Posté par
DeFunes43
re : Relation de Pascal et Factorielles 03-09-08 à 15:50

Ta remarque a été postée pendant que je postais mon précédent message

Grace a elle, j'ai réussi a arriver jusqu'a

\frac{p(n-1)!+(n-p)(n-1)}{p!(n-p)!}

Désolé pour le double post, mais ça évitera que quelqu'un écrive tout le raisonnement pour rien.

Posté par
Mxx
re : Relation de Pascal et Factorielles 03-09-08 à 16:00


  
    Bonjour DeFunes43 .


     ** le passage de 1 à 2 se fait comme suit .

   + je multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par p .

    et je fais la même chose pour la 2ième fraction , je multiplie par (n-p) .

    COMME TU DISAIS :  n! = 1.2.3.....n = (1.2.3....(n-1)).n = n.(n-1)! ( car :  (n-1)! = 1.2.3.....(n-1) ) .

     il en découle donc que :

   p! = p(p-1)! et  (n-p)! = (n-p)(n-p-1)! .

  ** pour le passage de 3 à 4 , j'ai factorisé par  (n-1)! .

   je crois que c'est claire maintenant .


     A+     Mxx .

Posté par
DeFunes43
re : Relation de Pascal et Factorielles 05-09-08 à 22:03

Désolé j'ai eu un peu de boulot hier

J'ai réussi a trouver par moi meme finalement.

Un énorme merci pour ton aide!



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