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Relation métrique dans un triangle

Posté par
RayaneBaa
22-08-19 à 20:26

Bonjour! J'ai un problème sur une question de mon exercice de relation métrique dans un triangle. Voici l'énoncé:

Soit ABC un triangle, O le centre de son cercle circonscrit de rayon R.  a, b, c les longueurs des 3 côtés BC, AC, AB.
On notera A' la mesure de l'angle correspondant au sommet A (comprise entre 0 et π).
r, la mesure du rayon du cercle inscrit .
ha, hb, hc les longueurs des hauteurs issues de A, B, C.


La première question était:
-Retrouver les formules d'Al-Kashi :  a2 = b2 + c2 −2bc cosA'

J'ai réussi à y répondre en utilisant Pythagore.

La deuxième question est celle qui me pose problème:

-Établir les égalités : 2R = a/ sin A' = b/ sin B' = c/ sin C'

Avec comme indication:
Soit A'' le milieu de [BC] on se place dans le triangle rectangle OBA'' , on calcule sin A'.

J'ai commencer par compléter ma figure avec les indications données, je vous met la figure ci joint.

Dans les indications il demande de calculer le sinus de l'angle A' mais je n'y arrive pas puisque je ne suis pas dans un triangle rectangle.

Bref je suis vraiment perdu....

Relation métrique dans un triangle

Posté par
larrech
re : Relation métrique dans un triangle 22-08-19 à 21:48

Bonsoir,

Il y a une relation simple entre les mesures des angles  A' et \widehat{COB}

Et une autre, tout aussi simple entre \widehat{COB} et \widehat{A''OB}

Posté par
ty59847
re : Relation métrique dans un triangle 23-08-19 à 00:31

Les 3 hauteurs d'un triangles (les traits dessinés en pointillés jaunes) ... on sait quoi sur ces 3 droites ?  
Je ne sais pas si c'est utile ici, mais ça peut servir. Au moins à refaire le dessin.

D'autre part, tu sais que A" est le milieu de BC, et que O est à égale distance de B et de C. Ca devrait te donner quelque chose sur l'angle BA"O ou sur CA"O.

Posté par
luzak
re : Relation métrique dans un triangle 23-08-19 à 08:41

La relation de Al-Kashi s'obtient facilement en prenant le carré scalaire de \vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}.

Si tu connais la formule donnant l'aire du triangle : 2S=ab\sin(C) tu as \dfrac{2S}{abc}=\dfrac{\sin C}c d'où \dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin B}=\dfrac c{\sin C} et pour montrer que la valeur commune est 2R tu utilises le point Ddiamétralement opposé à B car le \dfrac a{\sin A} du triangle ABC est le même que le \dfrac a{\sin A}= du triangle BCD .

Posté par
RayaneBaa
re : Relation métrique dans un triangle 25-08-19 à 11:19

ty59847larrechlarrechty59847
Salut, definition La hauteur issue de A d'un triangle ABC est la droite passant par A et perpendiculaire à (BC). Le pied de la hauteur issue de A est le point H d'intersection de la hauteur issue de A avec (BC).

D'après mon dessin les angles BA''O et CA''O sont rectangles

Posté par
RayaneBaa
re : Relation métrique dans un triangle 25-08-19 à 12:03

Je pense avoir la réponse a la question.

Je vous met la figure ci joint.

En fait je créer un deuxième triangle rectangle JCB rectangle en C, sachant que l'angle A' et l'angle J interceptent le même arc de cercle AC, ils sont égaux.

Donc sin A' = sin J = coté opposé/hypothénuse = BC/JB = a/2R

Donc 2R= a/sin A'

Le meme raisonement montre qu'on a aussi  b/sin B = 2R = c/sin C

Sa s'appelle la loi des Sinus

Relation métrique dans un triangle

Posté par
larrech
re : Relation métrique dans un triangle 25-08-19 à 22:19

Bonne idée, à expliquer un peu mieux (triangle rectangle CBJ), même si c'est évident.



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