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Relation metrique dans un triangle quelconque (niveau seconde)
bonsoir à tous,
J'ai des difficultés pour resoudre la question 2 du grand II de l'ennoncé suivant :
NOTATION AB = c ; BC = a ; CA = b
On désigne par I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
on designe par E, F, G les projetés orthogonaux de I respectivement sur [BC], [CA] et [AB].
On pose : AG = x ; BE = y ; CF = z
on designe par r le rayon du cercle inscrit :
IE = IF = IG = r
I Determination de x, y, z
1 Prouver que x+y+z= (a+b+c)/2
2 En deduire l'égalité z= (a+b-c)/2
3 Determiner de même x et y
II Determination du rayon
1 Soit S l'aire du triangle ABC, justifier l'égalité
r(a+b+c)= 2S
2 En déduire l'expression de r en fonction de a,b et c
(utililiser l'expréssion de S établie à la fin du (1)
III Jolie formule
1 Démontrer que r = 
(x y z)/ (x+y+z)
fin de l'ennoncé...
Question II petit 2:
je pense que la reponse (trouvée sur le net) est:
r = (p-a)(p-b)(p-c)/p
p = (a+b+c)/2
mais je n'arrive pas à l'expliquer.
Pouvez vous m'aiguiller sur le raisonnement à tenir ????
MERCI à vous
bonne nuit et à demain
Salut kath
1.
Dans le triangle rectangle IBE, tu as:
BI²=IE²+BE²=r²+y²
Dans le triangle rectangle IBG, tu as:
BI²=r²+BG²
donc r²+y²=r²+BG² donc y=BG=BE
On montre de meme que x=AG=AF et z=CF=EC
donc x+y+z=(c-y)+(a-z)+(b-x)
d'ou x+y+z=(a+b+c)/2
2.
Or x=b-z et y=a-z donc x+y+z=b-z+a-z+z=a+b-z=(a+b+c)/2
=> z=(a+b-c)/2
3.
On :
y=c-x et z=b-x donc x+y+z=b+c-x=(a+b+c)/2 => x=(-a+b+c)/2
De meme avec y=(a-b+c)/2.
Joelz
Pour calculer S, tu fais la somme des "petits triangles":
S=A(AGI)+A(AIF)+A(EFC)+A(EIB)+A(BIG)
=1/2*xr+1/2*xr+1/2*rz+1/2*rz+1/2*ry+1/2*ry
=xr+ry+rz=r(x+y+z)
=r(a+b+c)/2
d'ou 2S=r(a+b+c)
as-tu vu en cours la formule de Héron? S=rac(p(p-a)(p-b)(p-c)? dans ce cas, tu l'utilises et tu trouves le résultat que tu as déjà trouvé sur internet... sinon, je ne vois pas trop... je vais chercher un peu mais c'est sans garantie....
Pour avoir r en fonction de a,b,c, on doit exprimer S en fonction de a,b,c. Pour ca , on utilise la formule de Heron.
On a:
S=(p(p-a)(p-b)(p-c)) où est le demi perimetre.
Or 2p=a+b+c donc en remplacant p tu trouves l'expression de r en fonction de a,b et c.
On a aussi:
S=(p(p-a)(p-b)(p-c))=((x+y+z)xyz)
Or r(a+b+c)= 2S
donc r=((x+y+z)xyz) /(x+y+z)
donc r=[xyz/(x+y+z)]
Voila
Joelz
bonjour à vous
à l'intention de Joelz
bonjour à toi
merci pour tes reponses, elles confortent les resultats que j'avais obtenus.
En ce qui concerne le 2 du grand II, tu applique directement la formule d'Héron, alors que mon raisonnement doit m'y amener en partant de :
S = r (a+b+c)/2 soit S = r / p
pour arriver à:
r = (p-a)(p-b)(p-c)/ p
As tu une idée ????
Merci et bonne journée
Salut
Sinon on peut redémontrer la formule de S.
La démonstration est pas très longue.
Avec la formule d'Al kashi tu as:
a²=b²+c²-2bc*cosA
donc on en déduit que (4b²c²)sin²A=4b²c²-(b²+c²-a²)² (car cos²+sin²=1)
En notant 2p=a+b+c, on a:
(b²c²)sin²A=4p(p-a)(p-b)(p-c)
Et en utlisant le fait que S=1/2*bc*sinA, on a:
S²=p(p-a)(p-b)(p-c)
Voila
Joelz
re bonjour,
à l'intention de Joelz
Je n'ai pas encore étudier le théoreme d' Al kashi, il m'est donc difficile de le compremdre et de l'appliquer pour ce problème.
merci beaucoup pour ton aide et si tu as d'autres idées n' hésites pas.
Merci encore
kath
bonjour à tous,
je pense avoir resolu mon problème.
je me suis servi de :
S = 1/4 (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
obtenu grace à :
S = 1/2 ah et h² = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/4a²
pour en deduit la formule d'héron :
s = p (p-a)(p-b)(p-c)
soit :
r(a+b+c)/2 = p (p-a)(p-b)(p-c)
d'où la réponse trouvé sur le net :
r = (p-a)(p-b)(p-c)/p
et voila.
Merci à Joelz et Garnouille de m'avoir aider
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