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relations binaires

Posté par WEAZEDS (invité) 05-01-05 à 20:35

bonjour,
voici le sujet:soit E un ensemble de cardinal n privé de 0, et R une relation binaire sur E.On dit que R est symétrique ssi (x,y) E*E,xRy yRx.
1.déterminer le nombre de relations binaires sur E.
2.déterminer le nombre de relations binaires réflexives sur E.
3.déterminer le nombre de relatins binaires symétriques sur E.
merci.
4.déterminer le nombre de relations binaires réflexives et symétriques sur E.

Posté par
franzre : relations binaires 06-01-05 à 22:29

1/

Choisir un relation bianire \mathcal R revient à définir une fonction f de E\times E dans \{0,1\}
En effet on peut faire correspondre de manière bijective à une relation \mathcal R , la fonction f de qui à (x,y) \in E\times E associe 1 si x {\mathcal R }y et 0 sinon.

Il y a donc 2^{Card(E\times E)} façons de choisir la fonction donc
           \large \red Card \{ {\mathcal R}\ } = 2^{(n^2)}
relations binaires sur E.


2/

La fonction correspondant à une relation binaire réflexive associe 1 à chaque couple (x,x). Il y a donc n valeurs de la fonctions imposées, et Card(E\times E)-n = n^2-n = n(n-1) couples pour lesquels on a le choix entre 0 et 1.

           \large \red Card \{ {\mathcal R} \; {\rm reflexive}\ } = 2^{n(n-1)}

Le même type de raisonnement conduit à

           \large \red Card \{ {\mathcal R} \; {\rm symetrique}\ } = 2^{\frac {n(n+1)} 2}

           \large \red Card \{ {\mathcal R} \; {\rm symetrique\, et\, reflexive}\ } = 2^{\frac {n(n-1)} 2}


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