Répartition des  puissances d'un complexe de  module 1

On note U  l'ensemble des nombres complexes  de module  1.
On note Un l'ensemble des racines n ème de l'unité (pour n ∈ ℕ∗ ).
On note d(z,z′) =  z′−z  la distance entre deux complexes  z et z′ .
Pour z ∈ ℂ∗ , on note :
arg(z) l'argument du complexe z défini à 2π  près.
Arg(z)  l'unique argument de z qui appartient à [0,2π[ (appelé argument principal de z ).
On se donne  θ ∈[0,2π[  , et on considère l'ensemble V ={z /n∈ℤ} avec       z = e^(inθ) .
                                                                                              

L'objectif de ce problème est l'étude de cet ensemlbe V  .

1.     Soit α,β  ∈ ℝ  . Déterminer d(e(iα) ,e(iβ) ) .
                                                                                                       On exprimera la solution sans radicaux et en fonction de   (B-A)/2

JE TROUVE  2 |(sin ((B-A)/2))|


2.     On suppose θ π ∈ ℚ  et on forme A ={n  ∈ ℕ∗ /zn =1}.

2.a    Montrer que A  possède un plus petit élément. Notons m   celui-ci.

JE DOUTE DE MA REPONSE : JAI MONTRE QUE POUR N=1, ON A Z1=e(iteta) DONC A NON VIDE ET TOUTE PARTIE NON VIDE DE N ADMET UN PLUS PETIT ELEMENT QUE JE NOTE m

2.b    Etablir que les z0 ,...,z(m-1) sont deux à deux distincts.

JE PARS DU FAIT QUE COMME AU 1 , LES DISTANCES ENTRE DEUX COMPLEXES SONT DIFFERENTES DE 0 MAIS JE NARRIVE PAS A CONCLURE


2.c    Montrer que V =Um    

JE NE TROUVE PAS



Dans toute la suite du problème, on suppose θ π ∉ ℚ .

3.     Montrer que les zn sont deux à deux distincts.

4.     Soit Z ∈U   et ε > 0.
        On désire établir l'existence d'un  m∈ℤ  tel que d(zm ,Z) ≤ ε .

On se donne n ∈ℕ \ {0,1} de sorte que  2pi / n ≤ ε

On introduit pour tout k de {0,1,...n-1}  l'ensemble Ak={z appartenant a U tel que  k (2pi / n) Arg(z) (k+1) (2pi / n)


   a) Etablir que la famille  (Ak)_{k de {0,1,...n-1}} forme une partition de U

    b) Montrer que parmi les zO,....zn deux éléments au moins se trouvent dans un même Ak.


  L'exercice est encore long , mais essayons de corriger cette partie , enfin donnez moi des pistes ou des solutions
Merci !