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Représentation d'une variable aléatoire comme somme de variables
Bonjour,
J'aimerai de l'aide pour cet exercice svp, je comprends pas du tout ce chapitre...
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Deux joueurs A et B disposent d'une pièce pour laquelle la probabilité d'obtenir "Face" à chaque lancer est égale à 1/2.
Chacun des deux joueurs lance la pièce n fois.
On désigne par X et Y les variables aléatoires suivantes : X représente le nombre de "Face" obtenus par A, et Y représente le nombre de "Face" obtenus par B.
On définit aussi : Z=X+Y et T=X-Y
1) Déterminer la loi suivie par les variables aléatoires X et Y.
J'ai réussi cette question, je sais qu'il s'agit de la loi binomiale de paramètres n=n et p=0.5
2)Déterminer la probabilité des événements {Z=1} et {Z=2n}.
3) Déterminer l'espérance et l'écart-type des variables Z et T.
Merci infiniment pour votre aide !
P({X=1 et Y=0})= P(X=1)*P(Y=0)=0.5*0.5=1/4
et
P({X=0 et Y=1})= P(X=0)*P(Y=1)=0.5*0.5=1/4 aussi
Donc P({X=1 et Y=0}U{X=0 et Y=1})=2/8
C'est ça ?
Donc ça donne :
P(X=1)=(1 parmi n)*(1/2)^(1)*(1-0.5)^(n-1)
P(Y=0)=(0 parmi n)*(1/2)^(0)*(1-0.5)^(n-0)
P(X=0)=(0 parmi n)*(1/2)^(0)*(1-0.5)^(n-0)
P(Y=1)=(1 parmi n)*(1/2)^(1)*(1-0.5)^(n-1)
Ainsi,
P({X=1 et Y=0}U{X=0 et Y=1})=P(X=1)*P(Y=0)+P(X=0)*P(Y=1)
=[(1 parmi n)*(1/2)^(1)*(1-0.5)^(n-1)]*[(0 parmi n)*(1/2)^(0)*(1-0.5)^(n-0)]+[(0 parmi n)*(1/2)^(0)*(1-0.5)^(n-0)]*[(1 parmi n)*(1/2)^(1)*(1-0.5)^(n-1)]
=2(n*(1/2)^2n)
Oui c'est vrai mais c'est la seule formule de mon cours...
Et pour P(Z=2n), X=n et Y=n donc on a :
P(X=n)= (n parmi n)* (1/2)^n*(1-0.5)^n-n
De même pour P(Y=n) donc :
P(Z=2n)=(1/2)^2n
Et comme on est en présence d'une loi binomiale:
pour la question 3, E(Z)=n*p =n/2
Mais pour calculer V(Z), il faut utiliser la formule normale ?
tu dois avoir cela dans ton cours... espérance et variance de somme ou différence de deux variables aléatoires indépendantes
C'est E(X+Y)=E(X)+E(Y)
Et X et Y suivent une loi binomiale !!!
E(X)=n/2 et E(Y)=n/2
Donc
E(X+Y)=n/2 + n/2 = 2n/2=n
La variance :
V(X+Y)=V(X)+V(Y)
V(X)=(n/2)(1-0.5) et V(Y)=(n/2)(1-0.5)
V(X+Y)= n/2
C'est ça ?
Je n'ai pas pour la différence, mais je suppose que c'est pareil avec un "-" à la place du "+" ?
ben ce n'est pas à moi de répondre à tes questions !
tu as bien un cours dans lequel on te définit l'écart type... donc ...?
J'ai vu la formule sur internet. Je comprends pas mon cours, il y a écrit :
L'écart type est la mesure la plus courante de la dispersion ou de la répartition des données sur la moyenne
ça ce n'est pas une définition, c'est une interprétation...
donc il doit y avoir aussi une définition qui explique comment il se calcule
ça m'étonnerait qu'il n'y ait pas une phrase qui te définit l'écart type si on t'en parle ensuite dans le cours !
donc non ? toujours pas ? rien dans le style
V = 
2
ou bien
= 
V
ou encore mieux :
l'écart type est la racine carrée de la variance
rien de tel que la langue française... 
C'est parce que j'étais pas sûr
Donc, pour revenir à la question 3,
σ(Z)=√(V(Z))
=√(n/2 )
Pour T:
E(T)=E(X)-E(Y)
=n/2 - n/2
=0
C'est bizarre
là par contre c'est plus que bizarre !
la variance ne peut être nulle que si la variable aléatoire est constante
ce qui n'est visiblement pas le cas ici puisque X-Y peut prendre des valeurs de -n à +n
donc apprendre le cours rigoureusement 
cours :
si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes, alors
V(X+Y) = V(X-Y) = V(X) + V(Y)
on perd un temps fou quand on ne connait pas son cours
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