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Résidus quadratiques - Théorème d'Euler

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 08-12-07 à 14:57

Bonjour

je prépare mon dernier ds le lundi et je sèche sur ce problème :s

On se propose de trouver une condition ncessaire et suffisante pour qu'un entier soit somme de deux carrés.

Soit 3$\rm\mathcal A_2=\{a^2+b^2; (a,b)\in\mathbb{N}\} et 3$\rm\mathbb{P} l'ensemble des nombres premiers.

1- Critère d'Euler:

Soit 3$\rm p\in\mathbb{P} avec 3$\rm p\neq 2. On dit qu'un entier 3$\rm m\in\mathbb{Z} est résidu quadratique modulo plorsqu'il existe 3$x\in\mathbb{Z} tel que: 3$\rm x^2\equiv a\[p\] et a non nul modulo p.

a) Soit 3$\rm \varphi : \(\mathbb{Z/pZ}\)^*\to \(\mathbb{Z/pZ}\)^*\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x\to x^2.

Déterminer 3$\rm\varphi^{-1}\{y\} pour 3$\rm y\in\mathbb{Z/pZ}\)^*

Calculer 3$\rm card(Im\varphi) puis prouver que 3$\rm card_{x\in\(\mathbb{Z/pZ}\)^*}\{x^2\}=\frac{p-1}{2}

je donne la suite après ...

Bon j'ai trouvé en appliquant le principe des bergers que card(Im phi)=(p-1)/2 mais à quoi sert la question suivante?

Merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Résidus quadratiques - Théorème d'Euler 08-12-07 à 14:58

C'est critère d'euler et non thm d'euler

Posté par
Camélia Correcteurre : Résidus quadratiques - Théorème d'Euler 08-12-07 à 15:00

Bonjour

C'est correct, je suppose que cette rédaction des questions sert à bien mettre les points sur les i!

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Résidus quadratiques - Théorème d'Euler 08-12-07 à 15:11

Bonjour camélia

Ok je continue

Bon là je bloque totalement

En déduire le critère d'Euler en considérant l'ensemble des racines de 3$\rm \overline{x}^{\frac{p-1}{2}}-\overline{1}=0

a est résidu quadratique si et seulement si 3$\rm a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\[p\]

Posté par
Camélia Correcteurre : Résidus quadratiques - Théorème d'Euler 08-12-07 à 15:23

Tu es dans un groupe d'ordre p-1. Tiut élément vérifie xp-1=1. Les résidus quadratiques sont des x=y2, donc ils vérifient x(p-1)/2=1. Comme tu sais déjà qu'il y en a (p-1)/2, tu les as tous.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Résidus quadratiques - Théorème d'Euler 08-12-07 à 15:38

ah oui j'ai compris

merci camélia

Posté par
Camélia Correcteurre : Résidus quadratiques - Théorème d'Euler 08-12-07 à 15:38

Posté par
lolo217re : Résidus quadratiques - Théorème d'Euler 08-12-07 à 20:23

tu les as tous parce que Z/pZ est un corps et qu'un polynôme de degré d  a au plus d racines dans un corps.


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