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Resoltion d un systeme d equation
Bonjour,
En voulant modeliser l allure prise par un cable passant par 2points P1 et P2 avec un angle de depart connu, ett soumis a son poids propre, je trouve que l equation de ce cable serait une chainnette d equation y=a cosh((x-b)/a) - c
b permet de faire une translation de la courbe selon x et c une translation selon y.
Les coordonnees des 2points par lesquelles passent la courbe verifient donc cette equation. On obitent 2 premiere equations
l angle de depart etant connu, la derive de cette equation en 0 est une valeur connu. On obtient une troisieme equation.
pourtant, ce systeme de 3 equations a 3 inconnues (a,b,c) est difficilement resolvable.
Par exemple, pour P1 (0;22) et P2 (100;16) avec un angle alpha au depart :
on a
22=a cosh(-b/a)-c
14=a cosh((160-b)/a)-c
-arctan(alpha)=-sinh(b/a)
Je suis ouvert a toute proposition sur ce problemne, merci d avance
Il est conseillé de résoudre par calcul numérique.
Le calcul littéral ramène à une équation dont la solution ne s'exprime pas avec les fonctions usuelles. Il faut passer par une fonction spéciale du genre W de Lambert. De toute façon, en pratique il faudrait calculer la valeur de cette fonction spéciale par calcul numérique, ce qui serait plus pénible que de faire le calcul numérique directement en partant du système donné.
Qu entend tu pars resolution par calcul numerique ?
J ai essaye le "numericsolver d une Ti et d un logiciel de calcul formel (wxMaxima) sans succes ?
Quelle est la methode a employer?
calcul numérique:
remplacer tous les paramètres par leur valeur numérique donné. Ici, alpha doit être remplacé par sa valeur numérique.
-arctan(alpha)=-sinh(b/a)
donc b/a=argsinh(arctan(alpha))
alpha étant numériquement donné, on calcule le nombre k :
k=argsinh(arctan(alpha))
donc b/a=k et b=ka
22=a cosh(-k)-c
14=a cosh((160-ka)/a)-c = a cosh((160/a)-k)-c
22-14= a (cosh(-k)-cosh((160/a)-k))
posons x= 1/a
7x = cosh(-k)-cosh((160x)-k))
C'est cette équation d'inconnue x et dont tous les paramètres sont numériques qu'il faut résoudre par une quelconque méthode numérique. Il en existe beaucoup.
Des méthodes élémentaires : graphique en tracant les fonctions (méthode peu précise), ou par tatonnement (fastidieuse), ou méthode par dichotomie, ...
Des méthodes plus performantes : Newton-Raphson et beaucoup d'autres.
Le résultat est une valeur numérique approchée de x.
Puis calculer :
a = 1/x
b = k/x
c = (cosh(k)/x)-22
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