et si tu écris 3*2ln(x)+2ln(x)-13.6ln(x)+6=0

Bah ça va pas: on pourrait faire ça si l'équation était 2 (ln(x^2)) + ln (x^2) - ... Je comprends pas ton -13.6ln(x).

Mais on met la puissance en facteur quand c'est le x qui est concerné, pas tout le log, si?

tu as raison

par contre j'ai trouvé que si x=2
2x^3+x²-13x+6=0

tu peux donc factoriser par (x-2)

Bonjour a tous les deux,

valparaiso, probleme : ln(x³) est bien egal a 3.lnx, mais le ln de x³ n'est pas egal a (lnx)³... la seule maniere de resoudre l'exercice est de rehercher les racines de l'equation du 3ieme degre 2X³ + X² - 13X +6 = 0 avec X = lnx, comme l'a fait -sos-. Malheureusement, le polynome de degre 3 P(X) = AX³ + BX² + CX + D ne se met pas sous la forme d'un trinome d'un trinome du second degre. Tout au plus, on arrive a l'ecrire comme un autre polynome de degre 3, mais dans lequel il n'y a plus de terme en X², en appliquant une methode due au mathematicien Cardan (16ieme siecle). On arrive alors a resoudre analytiquement l'equation X³ + PX + Q = 0, mais... il y a du boulot !

Si le polynome P(X) a des coefficients A, B, C et D entiers (c'est le cas ici), on peut tenter de rechercher des racines evidentes en employant la methode ci-dessous :
Supposons que P(X) ait une racine u entiere : alors P(u) = 0 peut s'ecrire u(Au² + Bu + C) = -D ; si u est une racine entiere, alors les puissances de u le sont aussi et la parenthese est aussi un nombre entier ; on cherche donc des nombres u entiers tels que u multiplie par un nombre entier = -D, nombre entier. Cela signifie que les valeurs de u possibles doivent etre, au signe pres, des diviseurs de D. OK ? Cette methode consiste donc a rechercher les diviseurs du terme constant D et a essayer si elles sont racines de P(X) = 0. Si ca marche, c'est bingo, sinon il faut passer par la methode de Cardan.

Et ici, ca marche... en effet, D = 6, dont les diviseurs sont 1, 2 et 3. J'essaie donc u = 1, 2, 3 et je constate que u = 2 est une racine de P(X) = 0.

Apres, c'est un peu plus simple : si P(X) admet comme racine X = 2, c'est qu'il peut s'ecrire P(X) = (X - 2)(aX² + bX + c) (j'ai ecrit a, b et c en minuscules pour les distinguer des A, B et C precedents). Pour trouver les valeurs de a, b et c il y a une methode simple : on developpe P(X0 et on compare avec le polynome de depart.
On obtient (calculs faciles a faire) P(X) = aX³ + (b - 2a)X² + (c - 2b)X -2c a comparer avec P(X) = 2X³ + X² -13X + 6 ; on obtient sans peine a = 2, b = 5 et c = -3. On peut donc maintenant ecrire P(X) = (X - 2)(2X² + 5X - 3) ; les racines du trinome entre parentheses sont faciles a trouver : X₁ = 1/2, X₂ = -3.
Finalement, les racines de l'equation 2X³ + X² + 13X + 6 = 0 sont X₁ = 1/2, X₂ = -3, X₃ = 2. Chacune d'elles peut representer le logarithme d'un nombre reel : X₁ donne x₁ = e^1/2 = 1.3648, X₂ fournit x₂ = e^-3 = 0.0498, et X₃ fournit x₃ = e² = 7.389.

Personnellement je trouve que le professeur qui vous a pose cet exercice est un peu culotte, car la resolution d'une equation du troisieme degre n'est pas au programme de terminale (enfin je ne crois pas). Cet exercice portant sur les logarithmes, il aurait eu autant de valeur pedagogique en se restreignant a une equation du second degre. Mais bon...

Si vous voulez en savoir plus sur la methode de Cardan, je vous recommande la consultation du document suivant .

Si vous avez des questions n'hesitez pas a poster.

Prbebo.

Valparaiso, cette fois OK. Si on trouve par coup de chance l'une des racines, alors on peut factoriser. Lis mon post ci-dessus et consulte le document associe, ca devrait tinteresser.

Bonne chance a tous les deux,

Prbebo.

merci prbebo

le prof pense peut être que tout le monde va faire mathsup

bonjour fedjer, possible... mais il y a un temps pour tout, et l'une des regles de base de la pedagogie est qu'il faut commencer par faire des choses simples avant de s'attaquer aux choses compliquees. J'ai quarante annees d'enseignement derriere moi, je suis donc bien place pour le savoir.
BB.

remarque la racine "évidente" était pas très dure à trouver.
Mais je suis d'accord avec toi.

Un très grand merci prbebo, grâce à vos explications lentement étudiées unes par unes sur une feuille de brouillon, j'ai compris toutes les étapes!

Je suis super conrtent parce que je ne suis pas un génie en maths et là c'est clair, je crois que je serais (presque) capable de le refaire! J'ai déjà, plutôt que de copier bêtement votre développement, testé tous les diviseurs de 6 et j'ai trouvé 2 et -3 comme racines. Vous avez factorisé avec 2 et j'ai voulu tester par moi-même avec -3. Forcément j'ai trouvé d'autres valeurs de a,b et c mais les mêmes solutions finalement. (Ma calculatrice les avait trouvées en moins d'une seconde... Mais j'étais incapable de les retrouver!)

Et sinon juste un mot sur l'exercice... C'est que c'est un très vieux livre de 2002 donc les exercices sont parfois hors programme.
Cependant, le professeur nous avait donné 4 questions sur 5 dans celui-ci, j'ai noté sauf la d (c'est la b) et là je viens de vérifier sur l'agenda virtuel... En fait c'était la b qu'il ne fallait pas faire. Bah, franchement pas grave. Je vais quand même la rédiger sur mon cahier, c'est ça de pris pour l'année prochaine!

Encore un grand merci, et bonne soirée