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résolution d'un système linéaire
je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant:
résoudre le système suivant en discutant suivant les valeurs des 3 paramètres a,b et c:
x+a*y+a²*z=a^3
x+b*y+b²*z=b^3
x+c*y+c²*z=c^3
je remercie d'avance celui qui pourrait m'aider.
bonjour
le déterminant associé au système est un déterminant de Vandermun.
D=(a-b)(a-c)(c-b)
la discution du système est simple. tu distingueras les cas suivants
a=b
a=c
b=c
a=b et a=c
a=b et b=c
a, b et c différents deux à deux
j'ai essayé de remplacer b par a pour le cas a=b mais je ne comprends pas ce qu'il faut faire ensuite.
l'astuce c'est de se dire que le déterminant s'annule quand on fait a=b; a=c ou b=c car il a alors deux lignes identiques et que donc on peut mettre (a-b)(a-c)(c-b) en facteur. Après on voit avec des considérations de degré que le coefficient qui est devant ne peut être que constant et on le détermine en prenant des valeurs particulières de a;b;c très simples.
donc après avoir remplacé b par a, on obtient deux équations identiques en fonction de a et la troisième en fonction de c. Mais, après je ne vois pas en quoi cela nous aide à résoudre le système.
Donc, si je remplace b par a j'obtiens:
x+a*y+a²*z=a^3
x+a*y+a²*z=a^3
et x+c*y+c²*z=c^3
ensuite, si j'ai bien compris:
je fais la différence des deux dernières lignes: x+(a-c)*y+(a²-c²)*z=(a^3)-(c^3)
Puis je factorise:
(a-c)*(y+(a+c)*z)=(a^3)-(c^3)
Mais qu'est-ce que je fais ensuite pour résoudre le système.
il y a plein de façons de résoudre. Par substitution ou combinaison de lignes ou en inversant la matrice.
tu devrais trouver que si (a-b)(b-c)(c-a)
0 alors x=abc ; y=-ab-bc-ca ; z=a+b+c
Pourrais-tu m'écrire s'il te plaît comment tu fais pour trouver ces solutions car je n'y arrive vraiment pas.
le problème, c'est que je ne sais pas par où commencer et je ne comprends pas pourquoi le déterminant doit être nul pour résoudre le système.
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