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Résolution d'un triangle rectangle

Posté par
christoff
25-11-13 à 16:16

Bonjour,

Je bloque sur cet exercice : Résoudre un triangle rectangle ABC connaissant l'hypoténuse BC = a et la hauteur AH = h issue du sommet de l'angle droit.

a = 322,45
h = 143,35

Comme ABC a pour relation a² = b² + c²

on a dans AHC son C = h/b
     dans ABC sin C = c/a

donc h/b = c/a et ha = bc

ainsi a² = ((h²*a²)/c²) + c²

je multiplie tout par c² (=x) et j'obtiens une équation x² - a²x + (ha)² = 0

     J'ai juste jusque là? Parcequ'aprés en calculant Delta ça me donne des nombres énormes...

Posté par
nombrilist
re : Résolution d'un triangle rectangle 25-11-13 à 16:18

"Comme ABC a pour relation a² = b² + c²"

Ceci mériterait d'être mieux explicité.

Posté par
christoff
re : Résolution d'un triangle rectangle 25-11-13 à 16:26

a = BC

b = AC

c = AB

h = AH

Posté par
carpediem
re : Résolution d'un triangle rectangle 25-11-13 à 16:53

salut

bc = ah

b2 + c2 = a2 <==> (b + c)2 = a2 + 2bc = a2 + 2ah

b + c = (a2 + 2ah)
bc = ah


deux nombres dont on connait la somme et le produit sont solution de l'équation .... ?

Posté par
christoff
re : Résolution d'un triangle rectangle 25-11-13 à 16:56

Oui il fait résoudre le triangle donc trouver la longueur de chaque côté, les angles et l'aire.

Posté par
verdurin
re : Résolution d'un triangle rectangle 25-11-13 à 16:58

Bonjour,
on peut calculer l'aire du triangle de deux façons pour trouver la valeur du produit des côtés de l'angle droits.
(b*c suivant tes notations)

Ensuite on connaît b2 + c2 et bc. Il est facile d'en déduire (b+c)2.

Enfin on se souvient de la méthode pour trouver deux nombre dont on connaît la somme et le produit.

Posté par
christoff
re : Résolution d'un triangle rectangle 26-11-13 à 09:24

Non je ne connais pas b et c, ou alors je me suis trompé...
C'est justement ces 2 côtés du triangle que je n'arrive pas à trouver, aprés se sera facile de calculer l'aire.
Merci de votre aide!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Résolution d'un triangle rectangle 26-11-13 à 12:05

Bonjour,

Citation :
et j'obtiens une équation x² - a²x + (ha)² = 0
J'ai juste jusque là? Parcequ'aprés en calculant Delta ça me donne des nombres énormes...
Oui c'est juste (mais les calculs pour arriver à cette équation pouvaient être largement simplifiés !)

mais c'est quoi x ?
tout est là !
x c'est b au carré (ou c au carré, aucune importance : b² et c² sont les deux solutions de cette équation)

et donc oui, ça donne des nombres "énormes" qui redeviendront à taille raisonnable une fois que tu en auras extrait les racines carrées ...
(et même pour Delta c'est une puissance 4 des dimensions ! pas étonannt que ce soit "énorme")

a 300 donne a² 90000 et a4 8100000000
c'est l'ordre de grandeur que tu as pour ton Delta et c'est parfaitement cohérent quand tu extrais la racine de ce Delta tu retrouves un ordre de grandeur de 90000 pour b² et c² et donc un ordre de grandeur de 300 pour b et c
rien d'étonnant ni d'inquiètant à ça.

les méthodes exposées par d'autres sont tout aussi valables mais avec des calculs qui portent en gros sur les racines carrées des tiens (puisqu'ils obtiennent b et c eux mêmes et pas b² et c² comme inconnues) mais au final on obtient pareil.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Résolution d'un triangle rectangle 26-11-13 à 12:50

Alternative, sans résolution d'équation du second degré (sauf calcul direct de racine carrée).

Repère orthonormé avec origine au milieu de [BC], axe des abscisses dans la direction de BC ...

B(-322,45/2 ; 0)
C(322,45/2 ; 0)
Angle droit en A.

x²+y² = (322,45/2)² (premier lieu de A)
y = 143,35 (2ème lieu de A)

x² = (322,45/2)²-143,35²
x = 73,785352  (arrondi)

A(73,785352, 143,35)

AB² = ((73,785352 + 322,45/2)² + 143,35²
AB = 275,28
AC = (322,45*143,35)/275,28 = 167,91

On peut, bien entendu croiser les valeurs de AB et AC
-----
Sauf distraction.  



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