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Résolution d'une équadiff

Posté par
lfpjyxyx
21-01-12 à 15:38

bonjour à la communauté,

J'ai besoin de votre aide.

Résoudre (E) : xy'+(x-1)y = 5x2 où y désigne une fct définie et dérivable sur ]0; +inf[
1° résoudre y' = -y + 5 (E')

c'est de la forme y'=ay+b donc fk(x) : k ea/x - b/a
a = -1 et b = 5 d'ou f(x) = e-x - 5

21° démontrer que si une fct f est une solution de (E) alors la fct g définie sur le même intervalle par g(x) = f(x)/x est une solution de l'équadiff (E') : y' = -y + 5

22° démontrer que si une fct h est solution de (E') alors la fct f définie par f(x) = sh(x) est solution de (E)

3° déduire la résolution de (E)

4° déterminer la solution f de l'équadiff (E).

Qui peut m'aider ? merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Résolution d'une équadiff 21-01-12 à 15:49

Bonjour

D'abord si tu as mis tout l'énoncé, tu dois trouver pour les solutions de 1)

f(x)=ke^{-x}-5

ou k est une constante réelle.

2)1) Eh bien, calcule g'(x)+g(x), tu verras bien!

2)2) je ne comprends pas ton énoncé! C'est quoi sh(x) si h est une fonction?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Résolution d'une équadiff 21-01-12 à 15:52

Bonjour, f(x) = e-x + 5 plutôt.

Si g(x)=f(x)/x alors f(x)=xg(x) et f'(x)=g(x)+xg'(x). Si f est solution de (E) c'est que xf'(x)+(x-1)f(x)=5x² donc que
x(g(x)+xg'(x))+(x-1)xg(x)=5x² g'+ g=5

Posté par
Camélia Correcteur
re : Résolution d'une équadiff 21-01-12 à 15:58

Salut Glapion, je n'ai même pas vérifié! mais je ne comprends pas où est passée la constante ni pourquoi dans la suite on parle de LA solution! ... On nous cache quelque chose!

Posté par
Glapion Moderateur
re : Résolution d'une équadiff 21-01-12 à 16:05

oui il n'y a pas de raison de supprimer la constante f(x)=ke-x+5 (sauf s'il nous a caché un bout n'énoncé qui dit que f(0)=6 ?)

Posté par
lfpjyxyx
Résolution d'une équadiff 21-01-12 à 17:46

Salut à vous 2,

pour le 1° faute de frappe f(x) = k.ea/x - b/a

pour 22° f(x) = x.h(x)

je vais suivre vos pistes pour résoudre l'exercice.

merci à vous

Posté par
Glapion Moderateur
re : Résolution d'une équadiff 21-01-12 à 18:42

les solutions de y'=ay+b c'est plutôt f(x) = k.eax - b/a

Posté par
lfpjyxyx
Résolution d'une équadiff 22-01-12 à 11:54

Bonjour,

21°
(E) -> xy'+(x-1)y=5x2

g(x) = f(x)/x -> f(x) = x.g(x)
et f'(x)=g(x)+x.g'(x)   f=uv -> f'=u'v+uv'

donc
x.f'(x)+(x-1).f(x)=5x2
x.(g(x)+x.g'(x))+(x-1).x.g(x)=5x2
x.g(x)+x2.g'(x)+x2.g(x)-x.g(x)=5x2
x2.g'(x)+x2.g(x)=5x2
g'(x)+g(x)=5 g est solution de (E')

22°
si h est solution de  (E') alors h'(x)=h(x)+5
(E) -> x.f'(x)+(x-1).f(x)
=x.(h(x)+x.h'(x))+(x-1).x.h(x)
=x.(h(x)+x.(-h(x)+5))+(x-1).x.h(x)
=x.h(x)-x2.h(x)+5x2+x2.h(x)-x.h(x)
=5x2 f est solution de (E)

3° on sait que ff(x)=k.eax-b/a
soit h(x)=k.e-x-5
d'après 21° sur ]0;+inf[ h(x)->x.h(x) est solution de (E) et h solution de (E')
donc les solutions de (E) sont f(x)=k.e-x-5

4° il faut chercher k tel que k.Ln2.e-Ln2-4.Ln2 = 0
-2.k.Ln2-4.Ln2=0
k=-2Ln2 ???



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