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Résolution d'une équation circulaire

Posté par
Thilith
12-06-11 à 11:08

Bonjour,

A la suite d'un exercice sur les équations différentielles (du second ordre), il faut résoudre sur [-2 ; 2] :

g(x)= -1/2   <=>    √2/2 cos (π/2 x - π/4) = -1/2
                    cos (π/2 x - π/4) = -2/2√2
                    cos (π/2 x - π/4) = -√2/2

    π/2 x - π/4 = 3π/4 + kπ (k∈ Z)
    π/2 x = π + kπ
    x = 2/π (π + kπ)
    x = 2 + 2k

Après je fais un tableau sur [-2 ; 2]:

k         x            x∈ [-2 ; 2] ?

-2    2 + 2(2) = -2     oui
-1    2 + 2(-1) = 0     oui
0     2 + 2(0) = 2      oui
1     2 + 2 = 4         non
2     2 + 2(2) = 6      non

Pourtant quand je vérifie à la calculatrice, 0 n'est pas solution car g(o) = 0,5 .
Ai-je fais une erreur précédemment ? Ma démarche est-elle fausse ?

Merci d'avance.

Posté par
Porcepic
re : Résolution d'une équation circulaire 12-06-11 à 11:22

Bonjour,

Ton problème vient des solutions que tu donnes à l'équation cos(x) = -√2/2.

Fais un dessin pour t'en convaincre : 3π/4, ça marche, en effet... mais à partir de là, pour obtenir toutes les solutions, il ne faut pas ajouter kπ ! (en effet, ça correspond à un demi-tour à chaque fois, donc tu tombes sur des points où le cosinus est positif... et tu loupes les solutions dans le quart en bas à gauche du cercle trigo)

Les solutions de cos(x) = -√2/2 sont de la forme 3π/4 + 2kπ et -3π/4 + 2kπ.
Et ainsi, normalement, tu ne devrais plus tomber sur 0 qui n'est en effet pas solution...

Posté par
Thilith
re : Résolution d'une équation circulaire 12-06-11 à 11:28

Ça marche j'ai compris.
Il y a donc deux tableaux à faire.

Merci bien.



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