L'équation se ramène à : exp(ax)=x.exp(a)
Considérer la fonction : f(x)=exp(ax)-x.exp(a)
f'(x)=a.exp(ax)-exp(a)
f'(x)=0 admet une unique solution m=1-ln(a)/a (existe car a>1)
Les variations de f :
f est décroissante sur ]-inf;m] croissante sur l'autre branche.
f admet un minimum sur R atteint pour x=m
Ce minimum vaut f(m)=(exp(a)/a)(1-a+ln(a))
Or pour tout a>1, 1-a+ln(a)<0
Pour justifier, considérer par exemple les variations de la fonction g
définie sur ]1;+inf[ par : g(x)=1-x+ln(x)
Par conséquent, f(m)<0
Conclure (suivant le niveau terminale ou sup) - théorème de la bijection (sur
]-inf;m] puis sur [m;+inf[ hors programme en TS sauf sur un compact
de R !!!)
Il existe deux solutions à cette équation : une sur ]-inf;m] et l'autre
sur [m;+inf[ , c'est tout ce que l'on peut dire ! La calculatrice
peut prendre le relais lorsque a est connu afin d'avoir une
valeur approchée de m et des deux racines.

j'imprime et je potasse ça hors ligne