y1,y2 et y3 sont les solutions
{1, 1, 1}
{1, a, b} la matrice de passage P
{1, b, c}
p1:=a y2 + b y3 + y1-x
p2:=c y3 + b y2 + y1-x
p3:=a y1 + b y2 + y3-x
p4:=c y2 + b y1 + y3-x
p5:=a y3 + b y1 + y2-x
p6:=c y1 + b y3 + y2-x

pour construire la résolvante il suffi de calculer p1*p2*p3*p4*p5*p6
logiquement on aura une équation du 6 ième degré qui faudra réduire  au 3 ième degré
l'astuce est de choisir a,b et c de tel sorte à annuler les coéfitions de x⁵, x⁴ ,  x² et x

si a=e^2i/3 b= a²  c=a
la matrice est celle de Fourier donc les solutions intermédiaires sont les éléments d'une matrice circulante  

les valeurs de a,b etc données au dessus sont les seules pour le cas général oû y1+y2+y30, dans la cas y1+y2+y3=0 il existe une infinité de solution en voila une
pour x³+P x +Q=0
b=-1, a=c= -3
la resolvante  x⁶ -24 (-3) [y2 y3 (y3 + y2)]   x³-64 [y3² + y3 y2 + y2²]³
et une autre
b=0, a=c=(1--3)/2
x⁶ +3-3 [y2 y3 (y3 + y2)]  x³-[y3² + y3 y2 + y2²]³

toutes les résolvantes seront de type
x⁶ +A Q  x³+ B P³
les matrices générées auront comme polynôme caractéristique qui  s'écrira de la manière suivant -x³+ u x1 x2 x+ v (x1³ + x2³) avec x1 et x2 des solutions de résolvantes générées
A, B , u et v seront  bien sur en fonction de a,b et c

Salut,

Bonjour,

A Hakim, pourquoi  ne pas nous proposer un exemple?


Alain