Niveau Maths sup

Resoudre dans C

Posté par mat671 (invité) 05-10-05 à 20:52

Bonjour,
je prépare ma kholle de maths et j'ai l'exo suivant :

Resoudre dans C :
z- z barre = z^5

----------------------------

Je pose donc z= r*exp(i*teta)
avec r = module de z et teta = argument de z.
Mais comment rédiger "proprement" cet exo ?
Merci

Posté par re:Resoudre dans C 06-10-05 à 01:22

Bonsoir mat671;
avec $z=re^{i\theta}$ on a $2irsin(\theta)=r^{5}e^{5i\theta}$ d'où $ou\{{r=0\\e^{i(5\theta-\frac{\pi}{2})}=\frac{2sin(\theta)}{r^4}$
ainsi si $z\neq0$ on a $et\{{cos(5\theta-\frac{\pi}{2})=\frac{2sin(\theta)}{r^4}\\sin(5\theta-\frac{\pi}{2})=0$ et donc $et\{{5\theta-\frac{\pi}{2}=k\pi\\r^4=(-1)^{k}(2sin(\theta))\\k\in\mathbb{Z}$ c'est à dire que $et\{{\theta=\frac{\pi}{10}+k\frac{\pi}{5}\\r^4=(-1)^{k}(2sin(\theta))\\k\in\mathbb{Z}$
pour $k=0$ on trouve $2$\blue\fbox{z=(2sin(\frac{\pi}{10}))^{\frac{1}{4}}e^{i\frac{\pi}{10}}}$
pour $k=1$ pas de solutions
pour $k=2$ on trouve $2$\blue\fbox{z=2^{\frac{1}{4}}i}$
pour $k=3$ pas de solutions
pour $k=4$ on trouve $2$\blue\fbox{z=(2sin(\frac{\pi}{10}))^{\frac{1}{4}}e^{i\frac{9\pi}{10}}}$
pour $k=5$ on trouve $2$\blue\fbox{z=(2sin(\frac{\pi}{10}))^{\frac{1}{4}}e^{i\frac{-9\pi}{10}}}$

pour $k=6$ pas de solutions
pour $k=7$ on trouve $2$\blue\fbox{z=-2^{\frac{1}{4}}i}$
pour $k=8$ pas de solutions
pour $k=9$ on trouve $2$\blue\fbox{z=(2sin(\frac{\pi}{10}))^{\frac{1}{4}}e^{-i\frac{\pi}{10}}$
Conclusion:
L'ensemble des solutions de l'équation $3$\red\fbox{z-\bar{z}=z^5}$ est $3$\red\fbox{S=\{0\}\cup\{\pm2^{\frac{1}{4}}i\}\cup\{(2sin(\frac{\pi}{10}))^{\frac{1}{4}}e^{i\frac{\pm k\pi}{10}}\hspace{5}/\hspace{5}k=1,9\}}$

Sauf erreurs bien entendu

Posté par philoux (invité)re : Resoudre dans C 06-10-05 à 10:39

Bonjour,

z-z*=z^5

je conjugue

z*-z=z*^5

=> z*^5=-z^5

z*^5+z^5=0

2r^5cos(5#)= 0 (# pour théta) => étude r=0 et r diff 0

5#=pi/2+kpi => sin5#=(-1)^k

#=pi/10 + kpi/5

on reporte dans z-z*= 2risin(#) et z^5=r^5i(-1)^k

r^4=2(-1)^k.sin(#)

et on étudie les différentes valeurs de k, comme elhor, pour la détermination de # avec kpi/5
en ajoutant z=0 (r=0)

Philoux

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