le déterminant est nul, non ?

Bonjour.

1 -1 1  | 5
2 1 -1  | 4    
3 3 -3  | 4  

~ L2-2L1 ; L3-3L1

1 -1 1  | 5
0 3 -3  | -6
0 6 -6  | -9


La troisième ligne est combinaison linéaire de la deuxième. Que peux-tu en déduire par rapport à l'ensemble des solutions ?
On peut aussi montrer que le déterminant est nul, ce qui explique qu'une ligne est combinaison linéaire des autres.

Je n'ai pas la même réponse j'ai fait:


2 1 -1 |4              1 1/2 -1/2 | 2             1  1/2  -1/2| 2               1 1/2 -1/2 | 2   L1<L1-1/2L2  
1 -1 1 |5              1 -1    1  | 5   L2<L2-L1  0 -3/2   3/2| 3    L<-2/3L2   0   1   -1 |-2
3 3 -3 |4    L1<1/2L1  3  3    -3 | 4   L3<L3-3L1 0  3/2  -3/2| -2              0 3/2  -3/2|-2  L3<L3-3/2L2

Pour obtenir :
1 0 0 | 3
0 1 -1| -2
0 0 0 | 1
  

Ma démarche est bonne je l.utilise souvent ainsi et ça marche toutefois je ne comprend pas pourquoi je n'arrive pas à la même réponse que vous ainsi qu'aux diverses réponses données par les logiciels mathématiques.

Merci de m'éclairer

Ma démarche a mal été publiée la voici:

2 1 -1 |4              1 1/2 -1/2 | 2                                
1 -1 1 |5              1 -1    1  | 5          
3 3 -3 |4    L1<1/2L1  3  3    -3 | 4                    


1 1/2 -1/2 | 2
1 -1    1  | 5       L2<L2-L1
3  3    -3 | 4       L3<L3-3L1

1  1/2  -1/2| 2
0 -3/2   3/2| 3      L2<-2/3L2
0  3/2  -3/2| -2

1 1/2 -1/2 | 2
0   1   -1 |-2    L1<L1-1/2L2
0 3/2  -3/2|-2    L3<L3-3/2L2


qui donne:


1 0 0 | 3
0 1 -1| -2
0 0 0 | 1

Merci

Encore une erreur de transcription désolé et c'est la dernière fois:


Ma démarche a mal été publiée la voici:

2 1 -1 |4                                            
1 -1 1 |5                      
3 3 -3 |4    L1<1/2L1                      


1 1/2 -1/2 | 2
1 -1    1  | 5       L2<L2-L1
3  3    -3 | 4       L3<L3-3L1

1  1/2  -1/2| 2
0 -3/2   3/2| 3      L2<-2/3L2
0  3/2  -3/2| -2

1 1/2 -1/2 | 2
0   1   -1 |-2    L1<L1-1/2L2
0 3/2  -3/2|-2    L3<L3-3/2L2


qui donne:


1 0 0 | 3
0 1 -1| -2
0 0 0 | 1

Merci

Attention, tu oublies qu'ici, ta matrice représente un système d'équations. Bref, tu oublies l'essence des objets que tu manipules.

Les autres matrices que tu obtiens en effectuant ces opérations sur les lignes et les colonnes te donnent un système équivalent au système initial. Il n'y a pas unicité de la simplification.

Ici, dans la matrice que tu obtiens, et dont tu t'étonnes qu'elle ne soit pas la même que celles obtenues par ton logiciel de calcul formel, l'ensemble des solutions est vide.

Pour t'en convaincre, tu peux éventuellement re-transformer ta matrice en système linéaire

Donc, lorsque l'ensemble solution est vide, le fait d'obtenir des systèmes équivalents différents des logiciels est normal?
L'important est avant tout d'obtenir un ensemble solution vide?

Non, l'important est d'obtenir l'ensemble des solutions, sinon, pourquoi s'embêter avec des matrices.

Il faut que tu comprennes qu'avec cette méthode, tu arrives à la MÊME réponse que ton logiciel de calcul formel : tu obtiens la solution de ton système.

Mais la réponse que j'ai obtenu est-elle correcte? Puisqu'un logiciel de math me donne cette réponse :

1 0 0 | 19/6
0 1 -1| -11/6
0 0 0 | 1

Alors que moi j'ai:

1 0 0 | 3
0 1 -1| -2
0 0 0 | 1

Vois tu les déterminants matriciels ?

Si oui, si l'on considére le système : 2x+y-z=4
      x-y+z=5
      3x+3y-3z=4

Tu poses A une matrice carrée d'ordre 3, et X et B des matrices colonnes avec (en colonne) X = [x,y,z] et B=[4,5,4] (bien en colonne, mais faut que j'apprenne à utiliser Latex).
Tu te retrouve avec A =
(2 1 -1)
(1 -1 1)
(3 3 -3)
On voit que le système (appelé de Cramer) d'écriture matricielle AX=B admet une solution unique (x,y,z) tel que x= det(A1)/Det(A), y = det(A2)/Det(A) et z= det(A3)/Det(A) avec A1, A2, A3 les matrices obtenues en remplaçant respectivement pour chaque matrice la colonne 1, 2 et 3 par la matrice colonne B.

Cette méthode est de loin la plus pratique à mon sens.

Désolé pour le multipost.

Kaname, ici la méthode de Cramer n'est pas (du tout) adaptée à la situation. Le déterminant est nul, ceci ne donne pas d'info sur l'ensemble des solutions.

Ah oui effectivement, autant pour moi.

Ce système n'est pas un système de Cramer.

D'accord merci infiniment. Je voulais savoir si les deux matrices décrivaient les mêmes ensembles solutions et j'ai obtenu ma réponse. Merci encore !

salut,
ce systeme se resout rapidement en remarquant que L1+L2 donne x=3
en remplaçant cette valeur de x dans L2 et L3 on montre que le systeme en y,z n'a pas de solution

Resolution avec Xcas:
M:=[[2,1,-1],[1,-1,1],[3,3,-3]];
V:=[x,y,z];
B:=[4,5,4];
resoudre(M*V=B,V) // on obtient une liste vide