Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

résoudre z^(3)= w (z et w complexes)

Posté par
kkhuette76 03-11-08 à 13:30

Bonjour!!

voici mon exercice :
on m'a fait calculer w (sous forme trigo évidemment)
w = (22)(cos(3/4)+isin(3/4))

on me demande alors de résoudre z3=w

j'ai donc écrit :
soit r module de z : r3=2V2
soit argument de z : 3=3/4 + 2k

en posant r = (22)1/3 j'obtiens r=2
mon probleme se pose pour ...
comment touver et sous la forme (a/b + ck) ?

Merci d'avance!

Posté par
jeansebre : résoudre z^(3)= w (z et w complexes) 03-11-08 à 13:37

Bonjour

ce n'est pas 3=3/4 + 2k

mais 3. =3/4 + 2k

car la multiplication des complexes donne une multiplication pour les modules, mais une addition d'angles.

Tu n'as plus qu'a diviser par 3...

Posté par
kkhuette76re : résoudre z^(3)= w (z et w complexes) 03-11-08 à 17:33

haaa oui c'est vrai...

je trouve alors 3 solutions pour k=0, k=1 et k=2
dont une est 2(cos(11/12)+isin(11/12)) (pour k=1)

on me demande ensuite de montrer que les solutions sont 1+i, (1+i)j et (1+i)j2 en posant j=ei2/3 pour en deduire les valeurs exactes de cos(11/12) et de sin(11/12)..

J'avoue que je suis un peu perdue..

Posté par
nemesissifortixre : résoudre z^(3)= w (z et w complexes) 11-11-08 à 18:54

Bonjour
Je ne peut pas vraiment t'aider, je suis arriver au même point que toi, je si quelqu'un a une idée pour résoudre cela ? merci

Posté par
lexou1729re : résoudre z^(3)= w (z et w complexes) 11-11-08 à 20:08

Bonsoir,

1+i=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}

(1+i)j=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}e^{\frac{2i\pi}{3}}=\sqrt{2}e^{\frac{11i\pi}{12}}

(1+i)j^2=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}e^{\frac{4i\pi}{3}}=\sqrt{2}e^{\frac{19i\pi}{12}}


Ce sont bien les solutions trouvées à la première question.
Pour répondre à la dernière question, intéresse-toi à la deuxième égalité.
Elle peut s'écrire :
(1+i)j=\sqrt{2}(cos(\frac{11i\pi}{12})+i sin(\frac{11i\pi}{12}))

\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+i sin(\frac{\pi}{4})(cos(\frac{2\pi}{3})+i sin(\frac{2\pi}{3}))=\sqrt{2}(cos(\frac{11i\pi}{12})+i sin(\frac{11i\pi}{12}))


Tu simplifies par \sqrt{2} et tu remplaces les sinus et cosinus du membre de gauche par leur expression avec des racines.
La partie réelle du membre de gauche te donnera la valeur de cos(\frac{11i\pi}{12}) et la partie imaginaire ...

Posté par
lexou1729re : résoudre z^(3)= w (z et w complexes) 11-11-08 à 20:10

la partie imaginaire te donnera le sinus souhaité.


cancel Le site a rencontré un problème temporaire.
Merci de retenter l'opération plus tard

Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île
Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île des mathématiques
© digiSchool 2026

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !