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reste d'une division euclydienne d'un entier à grande puissance

Posté par titepantoufle (invité) 01-10-06 à 11:12

voilà j'aimerais savoir si mon raisonnement est bon parceque ça ne me semble pas juste..
on nous demande de déterminer le reste de la division de 25043¹²³⁴⁵ par 11.
. on remplace 25043 par un nbre équivalent mais plus peti ds la congruence modulo 11.
25043= 2276*11+7
250437 (mod 11)
25043¹²³⁴⁵7¹²³⁴⁵(mod 11)
. on remplace ensuite 12345 par un exposant plus petit ds la congruence modulo 11.
Pour celà on cherche un entier k tel que 7^k-4 (mod 11) c'est là que ça bloque.
7¹¹-4 (mod 11)
12345=11*112222+3
donc 7¹²³⁴⁵= 7^11*112222+3
= (7¹¹)¹¹²²²²*343
Or 7¹¹-4 (mod 11)
donc (7¹¹)¹¹²²²²*343 -4¹¹²²²²*343 (mod 11)
Le reste est donc 343 ???

Posté par re : reste d'une division euclydienne d'un entier à grande puiss 01-10-06 à 11:17

Bonjour

On a effectivement :
$3$\rm 25043^{12345}\equiv 7^{12345}[11]$
Maintenant, il va s'agir de trouver les restes de la division euclidienne par 11 de 7ⁿ suivant les valeurs de n.

On a :
$3$\rm 7\equiv 7[11]$
$3$\rm 7^{2}\equiv 5[11]$
$3$\rm 7^{3}\equiv 2[11]$
$3$\rm 7^{4}\equiv 3[11]$
$3$\rm 7^{5}\equiv (-1)[11]$
On obtiendra donc :
$3$\rm 7^{10}\equiv 1[11]$

Or :
$3$\rm 12345=1234\times 10+5$
Finalement :
$3$\rm 7^{12345}=7^{5}\times (7^{10})^{1234}\equiv 7^{5}\equiv -1\equiv 10[11]$

Le reste sera donc 10

Posté par titepantoufle (invité)^^ 01-10-06 à 11:30

j'avais essayer en faisant 7¹⁰1 (mod 11) mais je ne savais pas que l'on pouvait dire que 7¹²³⁴⁵7⁵ tu pourrais m'expliquer ce qui te permet de conclure ça ?

Posté par re : reste d'une division euclydienne d'un entier à grande puiss 01-10-06 à 11:35

$3$\rm 7^{12345}=7^{10\times 1234+5}=(7^{10})^{1234}\times 7^{5}$ oui ?
Or $3$\rm 7^{10}=1 mod 11 donc (7^{10})^{1234}=1^{1234}=1 mod 11$
finalement :
$3$\rm (7^{10})^{1234}\times 7^{5}=1\times 7^{5}=7^{5} mod 11$

Posté par titepantoufle (invité)^^ 01-10-06 à 11:40

ça y est j'ai enfin compris, merci beaucoup !

Posté par re : reste d'une division euclydienne d'un entier à grande puiss 01-10-06 à 11:43

De rien

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