Bonjour

une erreur dans le texte sans doute  il faut lite T/2 au lieu de

Au lieu de prendre l'intervalle   on peut prendre l'intervalle

on aura bien l'étude de la fonction sur une période T  et comme est paire je vous laisse conclure

merci je me suis trompé c'est bien démontrer qu'il suffit d'étudier f sur[0;T/2]
on justifie en disant que l'intervalle [-T/2;T/2] a une amplitude de T?

et si x[0;T/2] f(x)=f(-x)?
merci

Puisque la fonction est périodique de période T il suffit donc de l'étudier  sur une période  quelconque

On pourrait choisir ou

mais on se priverait de l'autre propriété  la parité
par conséquent, on va prendre un intervalle symétrique. En général, on choisit l'intervalle positif
donc il suffit bien de l'étudier sur
ici intervalle fermé,  car sinon il manque des points

Bonjour,
Je me permets de donner une réponse un peu différente.
Si la fonction f est étudiée sur l'intervalle [0 ; T/2], par parité on peut en déduire son étude sur l'intervalle symétrique [-T/2 ; 0].
Elle est donc alors étudiée sur [-T/2 ; T/2].
Ensuite, en utilisant la période T, on peut en déduire son étude sur les intervalles [-T/2-T ; T/2-T] et [-T/2+T ; T/2+T].
En itérant, sur les intervalles [-T/2+kT ; T/2+kT] avec k dans .
La réunion de ces intervalles est .

bonjour

oui, d'une façon générale, pour appuyer ce que dit Sylvieg :

si une fonction paire ou impaire est définie sur un ensemble E symétrique par rapport à 0, alors l'étude sur E⁺ suffit car la partité permettra alors d'obtenir son étude sur E^- par une symétrie par rapport à (Oy) ou par rapport à (0;0) suivant le cas.

si une fonction est T-périodique alors son étude sur un intervalle de longueur T suffit et son étude globale se déduira par translations de vecteur T

donc en concaténant les deux, il faut choisir un intervalle de longueur T symétrique par rapport à 0... qui est [-T/2;T/2] et ensuite le "couper en deux".

parfait vous êtes formidable de clarté dans vos explications merci

De rien, et à une autre fois sur l'île

pas de quoi