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Résultats de densité - espace L^p
Bonjour,
Je voudrais savoir à quoi servent certains résultats de densité : j'ai en effet un cours d'analyse fonctionnelle où y'a pas mal de théorème sur la densité, mais j'ai pas encore rencontré d'exos où il faut les utiliser.
Les voici, entre autres :
Les fonctions continues et à support compact sont denses dans
L'espace vectoriel des fonctions continues et à support compact sur
est dense dans
, pour
Merci de me dire à quoi ça peut bien nous serivr 
J'imagine que ça doit etre utilisé dans les distributions, non ?
Bonjour,
oui c'est utilisé dans les distributions,mais souvent à la place des fonctions continues à support compact avec les fonctions indéfiniment dérivables à support compact.
Salut,
ce sont les résultats les plus importants que l'on puisse avoir 
Juste pour te donner des exemples:
Il est très facile de montrer le lemme de Riemann-Lebesgue pour les polynômes trigonométriques.
A partir de çà, puisque l'on sait que les polynômes trigonométriques sont denses dans l'ensemble des fonctions continues sur le cercle et que celles-ci sont denses dans L^1, on peut montrer très facilement le lemme de Riemann-Lebesgue pour les fonction L^1.
Tu peux montrer très facilement la formule de Poisson pour les fonctions continues et par densité, tu peux l'avoir pour les fonctions L1.
Etc.
Dès que tu fais de l'analyse avec des fonctions L^p, tu en as besoin.
Mais j'ai quand même du mal à voir parfois à quoi ça sert exactement.
Par exemple, dans un exo d'analyse fonction, on veut montrer que est une base Hilbertienne de
.
Selon le corrigé, pour montrer ça, on démontre que l'ensemble des combinaisons des est dense dans
.
quel est le rapport ?
Le rapport avec ce que l'on vient de dire, il n'y en a pas.
Le rapport entre ce que l'on fait et ce que l'on veut montrer est qu'une base orhonormale est complète si et seulement si cette base engendre un espace dense. (Théorème de Parseval)
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