Bonjour jamboncru2

Citation :
puisque tous les i sont racines d'un nombre réel ou complexe

   Oui pour les carrés et je suis aussi d'accord pour la remarque sur la valeur propre nulle (je sentais que je ratais quelquechose) , c'est alors très embetant..
  La personne l'ayant eu a l'oral m'a dit que le correcteur supposait au départ de sa réflexion que A était diagonalisable , c'est pas un peu bizarre de supposer ce que l'on nous demande de démontrer ???

Je te conseille de raisonner directement avec les valeurs propres : 3 cas peuvent se présenter, lesquels ?

Kaiser

Les cas pouvant se présenter sont les deux valeurs propres identiques , les deux valeurs propres distinctes et  ....   mais ce raisonnement la je le fais sur les valeurs propres de la matrice A ou celle de la matrice A²  ?

oui, c'est un peu étrange. Mais bon, raisonnait-il peut-être par analyse-synthèse ?

Kaiser

sur celle de A. Tu sais que tu peux-toujours considérer ses valeurs propres complexes ?

Autre chose :

1) Dans les deux cas que tu as énoncés, il faut préciser que ces valeurs propres sont réelles.
2) quel est alors le 3ème cas ?

Kaiser

     Oui ca devait etre ca la candidate (n'ayant pas compris sa logique) n'a pas pu m'en dire plus

OK !

Kaiser

   Alors je dirai que le troisieme cas est le cas ou les valeurs propres sont complexes

oui, mais dans ce cas que peut-on dire de ces valeurs propres (sachant que la matrice est à coefficients réels) ?

Kaiser

  Elles sont forcément conjuguées

oui !
maintenant, il faut traiter les 3 cas séparément (donc nécessairement, il va falloir écarter le cas des valeurs complexes non réelles).
L'un des cas permet de conclure immédiatement, lequel ?

Kaiser

  Le cas les deux valeurs propres sont réelles distinsctes permet de conclure que A est diagonalisable desuite

Toutafé !
maintenant, traitons le cas d'une valeur propre double.

Kaiser

   Bon on peut dejà remarquer que 0 ne peut etre valeur propre double puis si A admet une valeur propre réelle double son polynome est donc scindé sur R et elle est donc trigonalisable sur R.

oui c'est vrai !

Mais pourrais-tu préciser la "tête" de la matrice ?


Kaiser

    Ne peut on pas dire que detA^2=detA*detA=⁴ avec valeur propre double de A et donc on en déduit que les valeurs propres de A^2 sont de meme signe et vu ke Tr(A^2)=2² donc les deux valeurs propres de A^2 sont positives et par consequent on pourrait conclure , puisque îl existe D matrice diagonale et P telle que D=P^-1A^2P
          D^1/2=P^-1AP
  

   Et donc A diagonalisable

Ah non, pas du tout on ne peut pas dire ça (une matrice carrée peut posséder plusieurs "racines carrées").
Par contre, on peut dire mieux des deux valeurs propres de A² que d'être de même signe.

Kaiser

pas encore !

Kaiser

elles vont elles aussi etre identique et cette valeur unique vaudra le carré de la valeur propre de A (on le voit en mettant juste A au carré lorque celle ci est sous forme triangulaire)

du coup, quelle est la tête de A² ?

Kaiser

   Je suis pas sur de répondre exactement ce qui est attendu mais A² sera triangulaire et sera dans le meme temps semblable a une matrice diagonale
    

elle sera mieux que triangulaire et même mieux que semblable à une matrice diagonale.
(A² est une matrice diagonalisable qui possède 2 valeurs identiques).

Kaiser

Elle vaudra a*I₂

avec a le carré de notre valeur propre de A

oui ! (avec a qui est non nul, bien entendu)
Normalement, tu devrais pourvoir conclure.

Kaiser

Hum Hum bein la je pense que je vais probablement faire la meme erreur que ci dessus si je dis que par consequent A=a*I₂

si la racine carrée est appliqué à a, alors je dirais que c'est presque ça (on peut avoir l'opposé).
Mais il faut le prouver.
En fait, essaie de conclure en utilisant un argument théorique.

Kaiser

    Euh ce pourrait-il que ce soit le fait que les matrices diagonales forment un sev de Mn(R) (je dis peut etre n'importe quoi , j'en suis conscient )

non, ce n'est pas à dû à ça (c'est un argument que tu as utilisé au début de ce topic).

Kaiser

  MAIS C EST BIEN SUR !!! LE POLYNOME ANNULATEUR !!  on aura  donc le polynome annulateur qui est X^2-a et qui a donc comme racines unique + ou - racine de a

bien sûr, ce polynôme sera à racines simples car a est non nul.

Kaiser

Rester à traiter le dernier cas.

Kaiser

     Donc dans le dernier cas A n'est pas diagonalisable sur R mais l'est sur C et etant donné que les deux valeurs propres sont conjuguées et que tr(A)0 on a le cas numéro 1 non ?

non, le cas numério 1 était pour des valeurs propres réelles. Ici, elle seront complexes non réelles.

Kaiser

  Oui mais on aura deux valeurs propres distinctes donc la encore on a A diagonalisable non ?

sur oui, mais la question a l'air de sous-entendre l'étude sur .

Kaiser

    Sur R le polynome n'est pas scindé donc A ne peut pas etre diagonalisable sur R me semble-t-il

Polynome caractéristique

mais justement, il faut prouver que ce cas ne peut pas se produire.

Kaiser

ah oui ok

    Pas évident du tout , il faudrait montrer une contradiction avec A^2 diagonalisable

  Ce pourrait il qu'on dise A^2 doit appartenir a M₂(R) donc on doit avoir a et b les deux racines complexes de A qui au carrés doivent etre réelles donc cela revient a dire qu'elles sont purement imaginaires et si tel est le cas on a Tr(A)=0 puisque les deux sont conjuguées.

en fait, ce n'est pas vraiment parce que A² est à coefficients réels mais plutôt qu'elle est diagonalisable sur (plus précisément, ses valeurs propres sont réelles).
Sinon, le raisonnement est effectivement celui-ci.

Kaiser

  Merci Kaiser !

Mais je t'en prie !