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Réunion et Intersection de deux ensembles

Posté par
hoquangtri
24-06-11 à 09:47

Bonjour,

Soit on a AB = B B est une partie de A et

AB = B A est une partie de B

Puisse-je utiliser la définition de réunion ou d'intersection pour démontrer ? Par exemple :

L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble C qui appartient à la fois à A et à B. OR AB = B DONC B est une partie de A

Et je fais la même chose avec la réunion.

Merci de votre aide.

Posté par
Porcepic
re : Réunion et Intersection de deux ensembles 24-06-11 à 09:53

Bonjour,

Pour montrer que B est une partie de A, il faut se donner un élément de B, et montrer qu'il est dans A.

Tu te fixes donc un élément de B : « soit x\in B ».
Comme par hypothèse, B=A\cap B, alors nécessairement x\in A\cap B, et donc par définition de l'intersection, on a en particulier x\in A. D'où B\subset A.

Et même principe pour la réunion.

Posté par
hoquangtri
re : Réunion et Intersection de deux ensembles 24-06-11 à 10:40

merci bien.

Posté par
hoquangtri
re : Réunion et Intersection de deux ensembles 26-06-11 à 13:04

Rebonjour,

J'ai du mal à comprendre. Si x AB, Il faut que x appartienne simultanément à A et B. Pourquoi x n'appartient que A dans ce cas ?

Posté par
Porcepic
re : Réunion et Intersection de deux ensembles 26-06-11 à 19:13

Bonsoir et désolé du retard.

J'ai écrit qu'il appartenait alors en particulier à A, pas qu'il n'appartenait qu'à A...

Posté par
hoquangtri
re : Réunion et Intersection de deux ensembles 26-06-11 à 20:10

Bonsoir,

Par définitioon, x doit appartenir simultanément à A et B. C'est veut dire quoi "en particulier" ici, pouvez-vous m'expliquer, svp. Merci.

Posté par
Porcepic
re : Réunion et Intersection de deux ensembles 26-06-11 à 20:53

C'est le principe du « qui peut le plus, peut le moins ».

Si on appartient à A et à B, on appartient en particulier à A.
Si on mange des petits pois et des carottes, on a en particulier mangé des petits pois (comprendre : certes, on n'a pas mangé que ça, mais si on est allergique aux petits pois, c'est suffisant pour nous rendre malade !).

Posté par
plumemeteore
re : Réunion et Intersection de deux ensembles 27-06-11 à 00:01

Bonsoir Hoquangtri et Porc Epic.
On peut utiliser le raisonnement par l'absurde.

Avec
Supposons que B ne soit pas une partie de A. Il existerait un élément de B qui ne ferait pas partie de A et donc ne ferait pas partie de (A B). (A B) et B n'auraient pas exactement les mêmes éléments, contrairement à l'hypothèse.

Avec
Supposons que A ne soit pas une partie de B. Il existerait un élément de A qui ne ferait pas partie de B, mais il ferait partie de A B puisqu'il serait élément de A. (A B) et B n'auraient pas exactement les mêmes éléments, contrairement à l'hypothèse.



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