Bonjour.

2°) (X,Y) € cl(x,y) <=> x - 5Y = X - 5y <=> X + 5Y - x - 5y = 0
C'est la forme aX + bY + c = 0. Il s'agit d'une droite parallèle à la droite X + 5Y = 0.

A plus RR.

Bonjour Raymond,je veux bien mais alors coment écris t-on f(R(x,y)) parce qu'en faite ce que tu écris la Raymond,j'y avais pensé mais aprés comme j'arrivais pas à écrire la suite je me suis dis que c'était faux et donc j'ai posté l'exercice lol.

Etudions la classe de (a,b), a et b donnés. Cl(a,b) = {(x,y), x + 5y = a + 5b}.

Donc, tout (x,y) € Cl(a,b) aura pour image par f : f(x,y) = x + 5y = a + 5b. Donc, tous les couples de Cl(a,b) ont la même image par f.
Cela signifie que l'on peut définir une application F : de la manière suivante : à toute classe Cl(a,b) on associe le réel, a + 5b. Ce résultat ne dépendant pas du représentant choisi dans la classe.
¤ a + 5b = a' + 5b' => (a,b) (a',b') => Cl(a,b) = Cl(a',b').
Cela se traduit par : F(Cl(a,b)) = F(Cl(a',b')) => Cl(a,b) = Cl(a',b'). Donc, F est injective.
¤ Soit u un réel quelconque. L'équation F(Cl(a,b)) = u donne : a + 5b = u. Il existe naturellement une infinité de couples (a,b) tels que a + 5b = u. Donc, F est surjective.

Remarques

1°) Les classes d'équivalence sont des parallèles à la droite (D₀) : x + 5y = 0. Ces parallèles sont du type :
(D_u) : x + 5y = u, u quelconque. L'idée de l'exercice est donc de transformer par F chacune de ces droites en le réel u.

2°) As-tu appris le théorème universel suivant ?
Soit f : E vers F. Dans E, on prend la relation d'équivalence (dite canoniquement associée à f) par : xy <=> f(x) = f(y).
Alors : définie par f(Cl(x)) = f(x) est une bijection.

A plus RR.

et bien justement ce théoreme Universel que tu énonce,il est trés important et il va etre à utiliser lors de mon devoir,donc j'aimerais bien savoir quand et comment on s'en sert.
A ce titre si tu as des exercices ou on utilise ce theoreme ça m'interresse beaucoup.
Merci bien Raymond.

Exemple 1.

Soit f : R -> R définie par f(x) = x².
f(x) = f(y) <=> x² - y² = 0 <=> x = y ou x = -y.
¤ La relation d'équivalence associée à f sera donc ici
x y <=> x = y ou x = -y.
Donc : Cl(x) = {x,-x}.
¤ f(R) = R₊.

Donc : R / est en bijection avec R₊.

Exemple 2

On peut généraliser l'exercice que tu proposais à R³.
Soit f : R³ -> R définie par f(x,y,z) = 2x - 3y + z.
Tu travailles comme dans l'exercice, cette fois tu trouveras des plans d'équations 2x - 3y + z = u, u € R.

A plus RR.

merci Raymond pour ces deux exemples!
Si tu as d'autres exercices sur les histoires de groupe de morphismes etc...n'hésite surtout pas,parce que j'en ai pas beaucoup.
Merci beaucoup.