Bonjour,

tu es dans l'espace, il faut donc tenir compte du fait que g est une rotation. Cette propriété nous donne des informations sur la nature de g. Honnêtement, je ne sais pas trop où cela mène, mais par exemple, la rotation d'un vecteur de l'espace sera (sous certaines conditions à préciser) donnera un vecteur linéairement indépendant ce qui peut donner des infos sur le rang de la matrice. Voila peut-être que c'est à creuser

@+

je crois avoir trouvé, le déterminant de la matrice d'une rotation est égal à 1 donc
a^3+b^3+c^3 -3abc =1
donc (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=1
d'où a+b+c=1 et  ab+ac+bc=0

mais après il est demandé de montrer que a,b,c sont les solutions d'une équation du type x^3-x^2 +p=0 où p est un réel que l'on exprimera en fonction de a,b,c.
Je ne vois pas comment commencer..

Salut,

effectivement ta matrice étant de rotation,ses colonnes forment une base orthonormée donc a²+b²+c²=1 et ab+ac+bc=0 soit a+b+c=1.

Ensuite observe le polynome (X-a)(X-b)(X-c) et essaie de conclure(pense aux relations coefficients racines).

en déveleppant , j'obtiens X^3- X^2 (c+b+a)+X(ab+bc+ac)-abc en effet d'après la question précedente, on a bien X^3 -X^2-abc mais comment montrer que (X-a)(X-b)(X-c)=0 ?

Et bien quelles sont les racines de (X-a)(X-b)(X-c)?

ah ok, a,b,c sont les solutions de (X-a)(X-b)(X-c)
merci beaucoup de votre aide
puis dans la suite du problème, (on ne sait pas que g est une rotation) on considère l'équation X^3 -X^2-p=0
à quelle condition sur p cette équation a t elle 3 racines réelles?et on en déduira que si a,b,c sont les racines, que g est une rotation.

Pense à dériver et regarde le signe en deux points bien choisis.

soit f(x)= X^3 -X^2-p
la dérivée donne 3x^2 + 2x
donc le signe d ela dérivée est négatif sur O, 2/3 et positif sur 2/3 ; infinie
alors  f(2/3)= X^3 -X^2-p=0 ssi p=64/27
mais alors f(x) ne s'annule qu'en 2/3, dans ce cas ce serait une racine triple, est ce possible?

Je me rend compte que j'ai pas été assez clair,

en fait je voulais dire tu as le tableau de variation de f avec la dérivée et les limites en +- infini.

Maintenant pour qu'il y ait 3 racines réelles il faut regarder les changements de signe donc le signe de f en 0 et le signe de f en 2/3 te donnent des conditions sur p.

C'est la seule possibilité car une racine triple est impossible en effet si c'était le cas on aurait f=(X-a)^3 et donc le coefficient de X ne saurait etre nul.