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Rotationnel 2

Posté par
matheux14
23-01-22 à 11:08

Bonjour,

1)  *** lafol > UN exo = UN topic et réciproquement ***

2) On considère le champs de vecteurs :

U ~:~ \R^3 \to \R^3 \\ (x ; y ; z) \mapsto (2y+z ~;~  2x+z ~;~  x+y)

a) Montrer qu'il existe un champ de vecteur A ~: ~ \R^3 \to \R^3  tel que U = rot A

b) On cherche un champ de vecteurs A sous la forme :

A ~: ~ \R^3\to \R^3 \\ (x ; y ; z) \mapsto (x(2z-y) ~;~ y \phi (x,z)  ~;~ z \Phi (x,y))

Déterminer la forme générale des fonctions \phi et \Phi pour que U = rot A

c) On impose de plus div A = 0 (une condition supplémentaire s'appelle condition de jauge). Déterminer \phi et \Phi.

Réponses

1) ...
*** message dupliqué ***

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 23-01-22 à 16:35

Oui erreur de frappe.

2-a) Comment faire ?

Posté par
lake
re : Rotationnel 23-01-22 à 16:37

Calculer Div\,U

Si nul, gagné ....

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 23-01-22 à 16:48

Ok çà marche.

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 23-01-22 à 17:38

2-c) Je trouve 3 conditions sur \phi ;  \Phi ;

\begin{cases} \Phi'(x ; y) = \dfrac{x}{z(1+r²)} \\\\ \Phi'(x ; y) = - \dfrac{y}{z(1+r²)} - \beta y² + \dfrac{2x}{z} \\\\ \phi =  \dfrac{\alpha z}{y(1+r²)} + \dfrac{\beta y²}{3}  \end{cases}

Posté par
lake
re : Rotationnel 23-01-22 à 17:43

Je ne sais pas ce que tu as fabriqué mais j'ai l'impression que tu as mélangé 1) et 2) qui sont deux exercices totalement indépendants.

L'un et l'autre n'ont rien à voir !

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 23-01-22 à 17:53

Ah d'accord

Du coup je dois me baser sur le fait que div V = 0 ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Rotationnel 23-01-22 à 17:54

Bonjour
peut-être apprendre à distinguer un V d'un U ? d'ailleurs on n'aurait pas dû te laisser ce post avec deux exercices .... je vais séparer les deux tout de suite ...

Posté par
lake
re : Rotationnel 23-01-22 à 18:00

Pour 2)a) oui  et c'est réglé.
Pour 2)b), il faut que  tu écrives que :

   U=Rot A

avec U : le champ de vecteurs qu'on te donne.

          et A : ce qu'on te donne aussi (fonctions \varphi et \Phi)

Tu résous un système d'équations aux dérivées partielles un peu de la même manière qu'en 1)

*** message déplacé ***

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 2 23-01-22 à 19:05

On a :

\vec{U} = (2y+z) \vec{e_1} + (2x+z) \vec{e_2} + (x+y) \vec{e_3}

Et \vec{rot} \vec{A} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x}  ~~~~~ A_1 = x(2z-y) \\\\ \dfrac{\partial}{\partial y}  ~~~~~ A_2 = y \phi (x, y) \\\\ \dfrac{\partial}{\partial z}  ~~~~~ A_3 = z \Phi (x , y) \end{pmatrix} = \left(\dfrac{\partial A_3}{\partial y} -\dfrac{\partial A_2}{\partial z} \right) \vec{e_1} +\left(\dfrac{\partial A_1}{\partial z} -\dfrac{\partial A_3}{\partial x} \right) \vec{e_2} +\left(\dfrac{\partial A_2}{\partial x} -\dfrac{\partial A_1}{\partial y} \right) \vec{e_3}

* \dfrac{\partial A_3}{\partial y} = z \Phi'(x,y) et \dfrac{\partial A_2}{\partial z} = 0

* \dfrac{\partial A_1}{\partial z} = 2x et \dfrac{\partial A_3}{\partial x} = z \Phi(x,y)

* \dfrac{\partial A_2}{\partial x} = y \phi'(x,y) et \dfrac{\partial A_1}{\partial y} = -x

Posté par
lake
re : Rotationnel 2 23-01-22 à 19:36

Quelques commentaires :

Je vois par exemple :

  

Citation :
A_2=y\phi(x,y)


- Non : \phi est une fonction de x et {\red z}

- Je vois aussi  des \phi'(x,\cancel{y}z) et des  \Phi'(x,y) qui ne signifient pas grand chose : des dérivées par rapport à quelle variable ? Tu es bien obligé d'écrire des dérivées partielles.
- Enfin, si tu commences, il faut finir, c'est à dire ici, obtenir des écritures explicites de \phi(x,{\red z}) et de \Phi(x,y)

Les résultats intermédiaires, on s'en moque dans un premier temps.
J'ajoute que  lorsque tu as obtenu une expression convenable de \phi et \Phi, tu peux te contrôler en calculant le rotationnel du A obtenu.
Si tu tombes sur U, tu as gagné.
Sinon, tu revois tes calculs.

Posté par
lake
re : Rotationnel 2 23-01-22 à 19:52

On peut tout de même passer par une étape intermédiaire:

L'équation Rot\,A=U se traduit par un système (relativement simple) de 3 équations aux dérivées partielles (de \phi et \Phi).

Commence par ça.

Posté par
lake
re : Rotationnel 2 23-01-22 à 20:02

Pour t'aider et te contrôler, voici le système auquel tu dois parvenir:

  \begin{cases}z\dfrac{\partial \Phi}{\partial y}-y\dfrac{\partial \phi}{\partial z}=2y+z\\\\\dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=-1\\\\\dfrac{\partial \phi}{\partial x}=1\end{cases}

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 2 23-01-22 à 20:31

\vec{U} = (2y+z) \vec{e_1} + (2x+z) \vec{e_2} + (x+y) \vec{e_3}

Et  \vec{rot} \vec A = \left(\dfrac{\partial A_3}{\partial y} -\dfrac{\partial A_2}{\partial z} \right) \vec{e_1} +\left(\dfrac{\partial A_1}{\partial z} -\dfrac{\partial A_3}{\partial x} \right) \vec{e_2} +\left(\dfrac{\partial A_2}{\partial x} -\dfrac{\partial A_1}{\partial y} \right) \vec{e_3} =\dfrac{z \partial \Phi(x,y)}{\partial y} \vec{e_1} + \left(2x-\dfrac{z \partial \Phi(x,y)}{\partial x} \right) \vec{e_2} + \left(\dfrac{y \partial \phi(x,z)}{\partial x} +x \right)\vec{e_3}

vec{U} =\vec{rot} \vec A \iff \begin{cases} \dfrac{z \partial \Phi(x,y)}{\partial y}  = 2y + z \\\\ 2x-\dfrac{z \partial \Phi(x,y)}{\partial x}  = 2x + z \\\\ \dfrac{y \partial \phi(x,z)}{\partial x} +x = x + y \end{cases}

comme çà ?

Posté par
lake
re : Rotationnel 2 23-01-22 à 20:38

Les deux dernières équations ressemblent furieusement aux miennes : il suffit de "simplifier".
Par contre i l y a un bourde dans la première. Tu as tous les éléments pour rectifier le tir

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 2 23-01-22 à 21:19

Ok je trouve \Phi = y²-x et \phi = x+ \dfrac{z²}{2}

Posté par
lake
re : Rotationnel 2 23-01-22 à 21:31

Citation :
J'ajoute que  lorsque tu as obtenu une expression convenable de \phi et \Phi, tu peux te contrôler en calculant le rotationnel du A obtenu.
Si tu tombes sur U, tu as gagné.
Sinon, tu revois tes calculs.


Je vais te faire gagner un peu de temps: tes calculs, tu peux les revoir tout de suite.

Autre chose :

  - il est tout de même curieux qu'il n'apparaisse aucune constante arbitraire.
  - vu nos "simplifications", il est prudent de considérer que y et z sont non nuls.

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 2 23-01-22 à 22:07

Ah çà coince un peu..

Posté par
lake
re : Rotationnel 2 23-01-22 à 22:24

Tu as donc ce système différentiel :

\begin{cases}z\dfrac{\partial \Phi}{\partial y}-y\dfrac{\partial \phi}{\partial z}=2y+z\\\\\dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=-1\\\\\dfrac{\partial \phi}{\partial x}=1\end{cases}

Des deux dernières équations, on tire :

  \Phi(x,y)=-x+g(y)

  \phi(x,z)=x+h(z)

qu'on reporte dans la première pour obtenir :

  zg'(y)-yh'(z)=2y+z

ou encore z(g'(y)-1)-y(h'(z)+2)=0

égalité vraie pour tout z et y non nuls ; on en déduit :

    g'(y)=1\Longrightarrow g(y)=y+k

    h'(z)=-2\Longrightarrow h(z)=-2z+k'

Ce qui donne au final :

  \phi(x,z)=x-2z+k'

  \Phi(x,y)=-x+y+k

et un champ de vecteurs A :

  A(x(2z-y),y(x-2z+k'),z(-x+y+k))

Je t'engage à vérifier qu'on a bien Rot\,A=U

  

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 2 23-01-22 à 23:56

Ok çà marche.

Pour la dernière question on a :

div A = 0 \iff  2z - y + \phi(x,z) + \Phi(x,y) = 0

Posté par
lake
re : Rotationnel 2 24-01-22 à 00:06

Oui... et alors ?
Qu'attends-tu pour replacer \Phi et \phi ?

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 2 24-01-22 à 00:15

\phi = -x et \Phi = y- x

Posté par
lake
re : Rotationnel 2 24-01-22 à 00:21

Non.
Ta condition de jauge permet de déterminer une relation  liant les constantes k et k'.
Sur ce, bonne nuit

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 2 24-01-22 à 00:21

matheux14 @ 24-01-2022 à 00:15

\phi = x-2z et \Phi = y- x

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 2 24-01-22 à 00:22

Dans ce cas k = k'

Posté par
lake
re : Rotationnel 2 24-01-22 à 00:25

Mieux mais il manque -k à la première et +k à la seconde.
Définitivement bonne nuit

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 2 24-01-22 à 00:26

Ok merci beaucoup et bonne nuit à vous aussi.



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