bonjour

Ecris ton énoncé et joins les images...

Philoux

Ok, pas de problème,


On considère un triangle ABC rectangle en A.

On place L et K au milieu des segments [AB] et [AC] et on construit le rectangle IJKL inscrit dans le triangle ABC comme sur la figure ci-dessous.

On trace les cercles CA, CB et CC respectivement inscrits dans les triangles ALK, BLI et CJK. Ces cercles ont pour rayon respectivement RA, RB et RC .

On se propose de montrer la relation suivante : RA2 = RB2 + RC2 .(Il faut lire au carré bien sûr, je n'arrive pas à faire la puissance).

1) Montrer que AKL, BLI et CKJ sont semblables.

2) Exprimer  et  en fonction de BI, LI et BL.
3) Calculer RB2 + RC2 (Il faut lire au carré bien sûr, je n'arrive pas à faire la puissance).

avec la figure

Philoux

Merci je n'arrivais pas à mettre la figure en ligne.

Merci pour la rapidité.

bonjour
je ne sais pas le sangaku c'est quoi mais je trouve ce probleme tres interessant
je vais poster je que j'en pense sans promettre pouvoir arriver a une solution
je commence par definir qques point sur la figure preparee deja par Philoux
soient dans le triangle ALK, les points M,N,P projetes orthogonaux respectifs du centre O du cercle sur les 3 cotes [AK],[KL]et [AL]
OM=OP=ON=rayon du cercle que je vais essayer de calculer en fonction des cotes du triangle
aire de ALK= aire de OLK+ aire de OLA+ aire de OAL
=ON.LK/2 + OM.AK/2 + OP.AL/E
=R/2 . (LK+AK+AL)
Donc R=2AIRE/(LK+AK+AL)

Meme travail pour les autres cercles on trouve
RB=2Aire_BIL/(BI+LB+LT)
et
RC=2Aire_KCJ/(KJ+KC+JC)
exprimons maintenant les aires differemment
Aire_ALK=1/2 AL.AK
Aire_BIL=1/2 BI.IL
Aire_KJC=1/2 KJ.JC
les rayons deviennent alors
RA=[AL.AK]/[LK+AK+AL]
RB=[BI.IL]/[IL+IB+LB]
RC=[KJ.JC]/[KJ+JC+CK]

reduisons le nombre des donnees en utilisant les egalites
et les rapports de similitudes des triangles semblables
il est bien facile de demontrer que les 3 triangles sont semblables en utilisant les angles correspondants et droits

Re-bonjour,

Ouh là là, pas facile tout ça, je vais me pencher dessus et voir si je comprends.

Est-ce que tout ça permet de démontrer ce que l'on demande à savoir l'égalité :
RA2 = RB2 + RC2 .(Il faut lire au carré bien sûr, je n'arrive pas à faire la puissance).

Je pensais utiliser Pythgore et des trucs de Thalès.
En tout cas, merci beaucoup pour votre réponse rapide.

MERCIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Je m'inspire de la demarche a suivre de la donne en disant exprimez les rayons en fonction des cotes du triangle BIL
RA=[AL.AK]/[LK+AK+AL]
AL=BL
AK/IL=AL/BI=LK/BL
AK=IL.BL/BI
LK=BL²/BI
AK=IL.BL/BI

ainsi
RA=[BL.(IL.BL)/BI] / [BL²/BI + IL.BL/BI + BL]
=apres reduction au meme denominateur dans le numerateur et le denominateur et apres simplification
RA=[BL.IL]/[BL+IL+BI]

angle(LBI) = angle(ALK) (angles à cotés directement //)
angle(BIL) = angle(LAK) = 90°
--> les triangles BLI et AKL sont semblables. (1)

angle(AKL) = angle(KCJ) (angles à cotés directement //)
angle(KJC) = angle(LAK) = 90°
--> les triangles CJK et AKL sont semblables. (2)

(1) et (2) --> les triangles AKL, BLI et CKJ sont semblables.
-----
On a donc:
BI/AL = RB/RA
et comme BL=AL, on a:

BI/BL = RB/RA     (3)
---
On a aussi
KJ/AL = RC/RA
et comme KJ = LI et AL = BL, on a:

LI/BL = RC/RA     (4)
---
(3)² + (4)² -->

BI²/BL² + LI²/BL² = RB²/RA² +  RC²/RA²

(BI² + LI²)/BL² = (RB²+RC²)/RA²

Pythagore dans le triangle BLI: BI² + LI² = BL² --> (BI² + LI²)/BL² = 1

et donc: (RB²+RC²)/RA² = 1

RB²+RC² = RA²
-----
Sauf distraction.  

RB est deja calculee en fct des cotes du triangle BIL
reste a exprimer RC
RC=[KJ.JC]/[KJ+JC+CK]
KJ=LI
KC=AK=IL.BL/BI
JC+BI+KL=2LK theoreme des milieux
JC+BI=IJ=KL
JC=IJ-BI=LK-BI=BL²/BI - BI
APRES LES REDUCTIONS
RC=LI[BL²-BI²] / [LI.BI + BL²-BI²+IL.BL]
Tu calcules a present RC²+RB²
et d'autre part tu calcules RA²
EN TENANT COMPTE DE PYTHAGORE DANS LIB
JE QUITTE A PRESENT
JE REVIENS LE SOIR POUR VERIFIER
BONNE CHANCE

SALUT J-P
une question
est ce une regle que les rayons des cercles circonscrits sont ici dans le rapport des cotses des triangles semblables?

sorry les cercles inscrits et non circonscrits

une question
est ce une regle que les rayons des cercles circonscrits sont ici dans le rapport des cotses des triangles semblables?

Salut Nicole

En fait, pokyto n'a pas recopié l'intégralité de son énoncé...

Il (ou elle, plutôt, si le "e" de perdue n'est pas une faute) aurait du ajouter les questions préliminaires :

"Première partie : triangles semblables

Soient MNP et M'N'P' deux triangles semblables comme ci-contre.
O1 et O2 sont les centres des cercles inscrits respectivement dans les triangles MNP et M'N'P'.

H1 et H2 sont les projetés des points O1 et O2 sur les droites (MN) et (M'N').

1) Montrer que O1MN et O2M'N' sont semblables.
2) Que représentent pour ces deux triangles les segments [O1H1] et [O2H2] ?
3) En déduire que le rapport des rayons des cercles inscrits aux deux triangles est égal au rapport de similitude des deux triangles MNP et M'N'P'."

Ceci répondait alors à ta question.

Les préliminaires sont très importants...

Philoux

Salut Nikole,

Quand 2 triangles sont semblables, TOUTES les mesures coorespondantes dans les 2 triangles sont dans le même rapport.

C'est vrai pour les cotés correspondants, pour les médianes correspondantes,pour les hauteurs correspondantes, pour les rayons des cercles inscrits, pour les rayons des cercles circonscrits ...

Bonjour,

La sangaku c'est le sudoku de la geometrie Si ca interesse, lire Tangente de decembre 2005 avec un special maths japonaises.

minkus