Personne n'est inspiré par ce sujet ?

Merci à tous ceux qui voudront bien passer un peu de temps.

bonjour permettez moi de vous répondre.

nous alons travaillé analytiquement. càd nous alons choisir une repère
orthonormé et dans ce repère nous alons exprimr les coordonnées des
points et la transformation affine rotation d'un quart de cercle
r.

le repère orthonormé le plus approprié est (A,i,j).
avec i vecteur unitaire porté par AB ( de A vers B)
j vecteur unitaire porté par AD ( de A vers D) i et j sont orthogonaux
puisque AB est perpendiculaire à AD.

soit a=||AB|| dans ce cas AB=ai et AD=aj  car ABD est isocéle rectangle
en A.

r transforme B en D donc r(i)=j
r transforme D en F donc r(j)=-i

donc AF=r(AD)=r(aj)=ar(j)=-ai

donc AB+AF=ai-ai=0  ; AB et AF sont des vecteur.

donc A est le milieu de BF

2)I et J sont les milieux respectifs des segments BC et EF.

a) montrer que les droites AJ et DE sont parallèles.

Votre réponse :
"Dans le triangle DEF, A est milieu de DF. J est milieu de EF (par hypothèse).

Dans 1 triangle, la droite qui joint le milieu de deux côtés est parallèle
au 3ème côté, donc AJ est parallèle à DE. "

est juste.

maintenons je vais vais vous montré comment on procède analytiquement:

soit (c,c') les coordonnés de C dans (A,i,j) : AC=ci+c'j.

comme E est le transformé de C par r alors:
AE=r(AC)=r(ci+c'j)=cr(i)+c'r(j)=cj-c'i=-c'i+cj

comme J est le milieu de FE donc:

2AJ=AF+AE=-ai+(-c'i+cj)=-(a+c')i+cj
d'autre part:

DE=AE-AD=(-c'i+cj)-(ai)=-(a+c')i+cj

donc DE=2AJ

donc les deux droite DE et AJ sont parallèles.

b)en déduire que les droites AI et DE sont perpendiculaires?

Votre réponse :

"la rotation de J par A donne le point I, donc AJ est perpendiculaire

à AI.
Puisque l'on sait que AJ est parallèle à DE et que dans un triangle,

si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une

est perpendiculaire à l'autre, alors DE est également perpendiculaire
à AI. "

est juste mais elle contient une petite erreur.

la rotation r ne transforme pas J en I. C'est l'inverse. Elle
transforme I en J.

le reste votre réponse est juste.

regardons maintenant analytiquement ce que cela donne.

I est le milieu de BC donc:

2AI=AB+AC=(aj)+(ci+c'j)=ci+(a+c')j

calculons maintenons le produit sclaire AI.DE.

2AI.DE=(ci+(a+c')j).(-(a+c')i+cj)     ;
            = c(-(a+c'))+(a+c')c
            =-c(a+c')+c(a+c')
            =0

donc 2AI.DE=0
donc AI.DE=0
donc les deux droites AI et DE sont perpendiculaires.


voila bon courage

Merci à vous de vous être penché sur mon problème.

En seconde, on a pas encore vu le produit scalaire.

Mais dans l'ensemble, j'ai compris votre démonstration et surtout
que j'avais fait une erreur dans la dernière question : la rotation
r ne transforme pas J en I mais elle transforme I en J.

En tout cas, merci d'avoir passé du temps sur mon exo.
A bientôt.