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Section d'une sphère par un plan
Bonjour, j'avais un exercice de spécialité maths ( Terminale S ) à faire mais je n'y arrive pas...
L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O;
;
;
). Soit S la sphère de centre le point 
de coordonnées (-1;-3;
2) et de rayon R=5/2. On considère le plan P d'équation : x - y + 2z = 0.
Montrer que P coupe S selon un cercle C dont on déterminera le centre ' et le rayon R'.
J'ai trouvé l'équation de S dans le repère (O;;;) : (x+1)² + (y+3)² + (z-2)² = 25/4.
Après pour trouver l'équation de l'intersection je pose le système :
(x+1)² + (y+3)² + (z-2)² = 25/4.
x - y + 2z = 0
J'ai essayé d'exprimer z en fonction de x et y pour l'insérer dans la première équation et avoir l'équation d'un cercle, mais je n'aboutis à rien... Pouvez-vous m'aider ? Merci
bonsoir,
a)détermine un vecteur normal au plan (P)
b) ensuite détermine une équation paramétrique de la la droite (M) perpendiculaire à (P) elle coupe (P) en H
détermine les coordonnées de H ;centre du cercle (C) commun à la sphère et au plan
c)détermineH
d) puis le rayon du cercle (C)
a) 
vecteur normal au plan P donc (1;-1;2)
b) Le vecteur H est colinéaire à mais je ne vois pas comment obtenir l'équation d'une droite avec ces informations...
puisque les vecteurs et
sont colinéaires
ensuite détermine ' , il appartient à cette droite et au plan (P)
c'est bien compliqué...
droite (M)
équation paramétrique
x=t-1
y=-t-3
z=t√2+√2
'
(P)
d'où
x'-y'-√2z'=0
déterminons t
t-1+t+3+t√2+√2=0
t(2+√2)=-2-√2
t=-1
x'=-2
y'=-2
z'=0
maintenant détermine '
puis le rayon
je reprends...j'ai oublié de multiplier z par √2
déterminons t
t-1+t+3+t(√2+√2)√2=0
t-1+t+3+2t+2=0
4t=-4
t=-1
c'est le bon calcul...la suite est correcte pour '
Ok merci beaucoup, le reste est simple ! Mais en fait la on est parti du fait que c'est un cercle, or on demande de montrer que c'est un cercle, dont on détermine les caractéristiques ensuite, donc je pensais qu'il fallait trouver une équation de la section avec l'équation du plan et de la sphère... Et j'ai eu cet exercice en controle, on avait 30 minutes pour le faire, la méthode que tu expliques me parait longue non ?
ensuite c'est rapide...
une formule pour '=(-1)2+12+(-√2)2=4
et théorème de Pythagore
R2=25/4- 4=9/16
R=3/4
les livres (de mes enfants)datent des années 80...
alors
vecteur'
et vecteur u colinéaire et ' (P) (sans parler de la droite)
L'intersection d'une sphère et d'un plan est un cercle, lorsqu'elle est non vide. Or le plan en question n'est pas parallèle à un des plans Oxy, Oyz ou Ozx. Donc, ce cercle va se projeter sous la forme d'une ellipse sur chacun des trois plans. Je suppose que tu ignores la forme de l'équation d'une ellipse, a fortiori si ses axes ne sont pas parallèles à Ox et Oy. Or lorsque tu essaies d'éliminer z, tu tombes sur l'équation de la projection de ton cercle sur le plan xOy : comme c'est une ellipse, tu ne reconnais pas cette équation ! Voilà pourquoi on ne te demande pas cela !
Tout ce que l'on te demande, c'est de trouver le centre et le rayon de ce cercle. Tu n'as donc besoin que de projeter sur le plan (la projection sera le centre cherché du cercle) et de calculer le rayon, ce qui est élémentaire avec Pythagore.
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