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Section planes: rédaction + exercices

Posté par
djkvin66
28-11-10 à 11:49

Voila j'ai quelques exercice que je n'arrive pas a rediger et peut etre qu'il y a des fautes !
Je vais en donné que 2 pour voir comment je peut rédiger:
Dans un repere orthonormales (0,,,), C est la sphere d'equation x2 + y2 + z2 - 6z + 5 =0

1- Précicer le centre et le rayon de la sphere:

C cercle de centre I tel que I (a;b)
M(x;y) C IM = R
                               IM2=R2
On prend deux point A(xa;ya) et B(xb;yb)
on a: AB=((xb-xa)2+(yb-ya)2)
      AB=(x-a)2+(y-b)2 = R2
(si quelqu'un peut me dire ce que j'ai fait je m'en souvien plus ce que j'ai fait lol)
D'apres le théoreme, l'ensemble des point M(x;y) tels que x2 + y2 + ax + bx + c = 0 est soit un cercle soit l'ensemble vide.
Ensemble des points M (x;y) tels que:
x2 + y2 + 4x - y = 0
(x+2)2 - 4 + (y-1/2)2 - 1/4 =0
(x+2)2 + (y-1/2)2 = 4 + 1/4
(x+2)2 + (y-1/2)2 = 17/4

Equation du cercle de centre I(-2;1/2)et de rayon (17)/2

2- Déterminer une equation du cilindre illimité d'axe (Oz) circonscrit a la sphere C

Equation d'une sphere est de type x2+y2+z2 = R2
C est la sphere d'équation:
x2 + y2 + z2 - 6z + 5 =0
(x+0)2 + (y+0)2 + (z + 3)2 - 9 + 5 = 0
(x-0)2 + (y-0)2 + (z+3)2 = 4

R = 4 = 2
Donc l'équation du cylindere illimités d'axe (Oz) a pour equation
x2+y2 = 4
x2+y2 = 22


(0,,,) repere orthonormal.
On considere la sphere C de centre O et de rayon R et le cilindre illimitée d'axe (Oz) et de rayon r (avec r>0 et R>0)

1- Donner une equation de C et de
L'equation de la sphere C est de la forme: (x-a)2 +(y-b)Voila j'ai quelques exercice que je n'arrive pas a rediger et peut etre qu'il y a des fautes !
Je vais en donné que 2 pour voir comment je peut rédiger:
Dans un repere orthonormales (0,,,k), C est la sphere d'equation x2 + y2 + z2 - 6z + 5 =0

1- Précicer le centre et le rayon de la sphere:

C cercle de centre I tel que I (a;b)
M(x;y) C IM = R
                               IM2=R2
On prend deux point A(xa;ya) et B(xb;yb)
on a: AB=((xb-xa)2+(yb-ya)2)
      AB=(x-a)2+(y-b)2 = R2
(si quelqu'un peut me dire ce que j'ai fait je m'en souvien plus ce que j'ai fait lol)
D'apres le théoreme, l'ensemble des point M(x;y) tels que x2 + y2 + ax + bx + c = 0 est soit un cercle soit l'ensemble vide.
Ensemble des points M (x;y) tels que:
x2 + y2 + 4x - y = 0
(x+2)2 - 4 + (y-1/2)2 - 1/4 =0
(x+2)2 + (y-1/2)2 = 4 + 1/4
(x+2)2 + (y-1/2)2 = 17/4

Equation du cercle de centre I(-2;1/2)et de rayon (17)/2

2- Déterminer une equation du cilindre illimité d'axe (Oz) circonscrit a la sphere C

Equation d'une sphere est de type x2+y2+z2 = R2
C est la sphere d'équation:
x2 + y2 + z2 - 6z + 5 =0
(x+0)2 + (y+0)2 + (z + 3)2 - 9 + 5 = 0
(x-0)2 + (y-0)2 + (z+3)2 = 4

R = 4 = 2
Donc l'équation du cylindere illimités d'axe (Oz) a pour equation
x2+y2 = 4
x2+y2 = 22


(0,,,) repere orthonormal.
On considere la sphere S de centre O et de rayon R et le cilindre illimitée d'axe (Oz) et de rayon r (avec r>0 et R>0)

1- Donner une equation de S et de
L'equation de la sphere S est de la forme: (x-a)2 +(y-b)2 + (z-c)2  = R2
L'équation du cylindre illimité d'axe (Oz) est de la forme x2  + y2  = r2

2- On considere le point M(x;y;z) appartenant a l'intersection de S et de C
a- Exprimer z2  en fonction de r et de R
je sais que z2  est egale a R2  - r2 mais je c'est pas comment le demontrer ?!

b- Déterminer l'intersection obtenu dans chacun des cas:
- R<r
-R=r
-R>r
J'ai une aide qui me dis que le nombre de solutions dépend du signe de z2  soit R2 -r2
Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
Cherchell
re : Section planes: rédaction + exercices 29-11-10 à 06:33

OK pour ton premier exercice même si on peut alléger la rédaction.

Pour le deuxième :
:a sphère S est de centre O de rayon R donc est l'ensemble des points M tels que OM = R donc a pour équation x² + y² + z² = R²
OK pour le cylindre

2. Soit M un point de l'intersection du cylindre et de la sphère
les coordonnées de M doivent vérifier simultanément x² + y² + z² = R² et x² + y² = r² donc R² + z² = r²
donc z² = R² - r²

si R < r alors R² - r² < 0
z² est un nombre positif ou nul, donc si R < r alors z² serait aussi égal à un nombre négatif ce qui est impossible
donc si R < r, pas de solution

si R = r, alors z² = 0 donc l'ensemble des points M appartenant à l'intersection du cylindre et de la sphère vérfie à la fois x² + y² =  r² et z = 0, le plan z = 0 est perpendiculaire à l'axe du cylindre donc l'intersection du cylindre et du plan est le cercle de centre O de rayon r


si R > r, alors  R² - r² > 0
z² = R² - r² se cécompose en z = \sqr{R^2\,-\,r^2}  et z = - \sqr{R^2\,-\,r^2}
l'ensemble des points M appartenant à l'intersection du cylindre et de la sphère vérfie à la fois x² + y² =  r² et z = \sqr{R^2\,-\,r^2} ou x² + y² =  r² et z = - \sqr{R^2\,-\,r^2} , les plans z = \sqr{R^2\,-\,r^2} et z = - \sqr{R^2\,-\,r^2} sont perpendiculaires à l'axe du cylindre donc l'intersection du cylindre et de la sphère est composée de deux cercles

Posté par
djkvin66
re : Section planes: rédaction + exercices 29-11-10 à 22:20

Oui je vois vois pour l'équation de la sphère je suppose que se sera dans la leçon car j'ai fais que cylindre et cône c'est pour ca ...
Dans la 2 on fais sa pour rédiger ?!

M(x;y;z) CS acolade:(x2 + y2 + z2 = R2 et x2 + y2 = r2)

et je continue...
Merci



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