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Sections planes d'un cylindre

Posté par
eleveTS
16-05-11 à 21:45

Sections planes d\'un cylindreBonjour à tous!
J'ai un dm de maths spé à rendre dans 2 jours et je n'ai pas trop voir pas du tout compris!

Alors voici l'énoncé:

La figure ci-dessous représente le cylindre de révolution engendré par la rotation du segment [BC] autour de l'axe (Oz), le quadrilatère OABC étant un rectangle. Le point A a pour coordonnées (0, 0,7) dans le repère orthonormal (I,,,) et AB = 3. Analytiquement, le cylindre est l'ensemble des points M de l'espace dont les coordonnées (x,y, z) vérifient :
x² + y² = 9 et 0  z 7
Nous nous intéressons maintenant à l'ensemble S des points M (x,y,z) de l'espace, dont les dont les coordonnées (x,y, z) vérifient :x² + y² = 9

1. Prouvez que tout point M de S est à la distance 3 de l'axe (Oz) et réciproquement, que tout point situé à la distance 3 de l'axe (Oz) est un point de S.

2. On rappelle que le plan P d'équation z = 5 est parallèle au plan (xOy) (d'équation z=0). P est l'ensemble des points M(x,y,z) de l'espace tel que z = 5.
  a) Expliquer pourquoi l'intersection de ce plan P et du cylindre S est un cercle centré sur l'axe (Oz) de rayon 3.
Je dirais que le plan P étant parallèle à (xOy), il coupe S, et donc l'intersection d'un plan et d'une sphère étant un cercle, et comme S a un rayon de 3, l'intersection de P et de S est un cercle centré sur l'axe (Oz) de rayon 3.
  b) Quelle est l'intersection de S avec le plan d'équation z=-4 ?
Je pense qu'il y en a pas car z  [0, 7].

3. M () est un point de S et un  réel quelconque
   a) Que pouvez vous déduire du point N de coordonnées ( + ) ?
   b) Déduisez-en qu'il existe des droites contenus dans la surface S.

4. a)Quelle est l'intersection de la surface S avec le plan d'équation x=0 ?
   b) Quelle est l'intersection de la surface S avec le plan d'équation y=0 ?
   c) Quelle est l'intersection de la surface S avec le plan d'équation x=1 ?
   d) Plus généralement, quelle est l'intersection du cylindre d'équation x² + y² = r² avec le plan      d'équation x =a ? Avec le plan y = b ? Que se passe t il pour a = r ? pour b = r?
  Surface de S et S c'est pareil?


Merci à ceux qui auront la gentillesse de m'aider!!

Posté par
xDaft-
Réponse 18-05-11 à 16:11

"Nous nous interessons maintenant à l'ensemble S des points M(x,y,z) dont les coordonées (x,y,z) vérifient x²+y²=9"

C'est la phrase clé, pas besoin de tenir compte du charabia avant...

1)
S est le cylindre illimité d'axe (Oz) d'équation x²+y²=9
Le rayon du cylindre vaut 9=3
=> l'ensemble des points M(x,y,z) de l'espace est à la distance R=3 de l'axe (Oz)

Réciproquement, tout point M à la distance 3 de l'axe (Oz) appartient à S car S est le cylindre illimité d'axe (Oz) et de rayon R=3

2)a.
P : z=5  le plan parallèle à (xOy)
S le cylindre illimité d'axe (Oz) d'équation x²+y²=9

PS est le cercle définit par x²+y²=9 et z=5. Ce cercle est bien centré sur (Oz) et de rayon 9=3

2)b.
P : z=-4   , le plan parallèle à (xOy)

PS est le cerlce définit par x²+y²=9 et z=-4. C'est donc le cercle de centre (0;0;-4) de rayon 3 inclu dans P: z=-4

3)a.
Un point appartient à S ses coordonnées vérifient x²+y²0=9  , avec z quelconque
Or MS, on en déduit que x0 et y0 vérifient x²0+y²0=9 , et cela quelque soit la valeur de z0
Donc N de coordoonées (x0;y0;z0+) appartient aux cylindre S quelque soit lambda et la valeur de z0

3)b.
Soit C le cercle de centre O et de rayon 3 dans le plan (xOy). Il existe des droites d parallèles à (Oz) passant par C engendrant le cylindre S (car S est le cylindre illimité d'axe (Oz) et d'équation x²+y²=9). Les droites qui engendrent S sont "contenues" dans la surface S

4)a.
Soit P1 : x=0  , le plan parallèle à (yOz)
P1S : x²+y²=9  , x=0 , z (mettre avec accolade)
y²= 9 , x=0 , z

y=3 , x=0 , z
ou y=-3 , x=0 , z

P1S = D1D2, deux droites parallèles à (Oz) tel que
D1 : (accolade) x=0 , y=3 , z

D2 : (accolade) x=0 , y=-3 , z

4)b. (plus rapide comme on a détaillé la 4)a, on applique directement le théorème)

Soit P2 : y=0 , le plan parallèle à (xOz)

-303
Donc P2S = D1D2 avec
D1 : (accolade) x = (R²-0²) , y=0 , z
D2 : (accolade) x = -  ....  idem juste le moins devant la racine

D1 : (accolade) x=3 , y=0 ,z
D2 : (accolade) x=-3 , ... idem

4)c.
Soit P3 : x=1, le plan parallèle à (yOz)

-313
Donc P3S = D1D2 avec
D1 : (accolade) x=1 , y=(R²-1²) , z
D2 : (accolade) x=1 , y= -(R²-1²) , idem

D1: (accolade) x=1 , y=8 = 22 , z
D2 : (accolade) exactement pareil sauf - devant la racine

4)d.
De manière générale :

Soit le cylindre d'équation x²+y²=r²  , P: x=a
* si -rar
P = D1D2 avec
D1: (accolade) x=a , y=(r²-a²) , z
D2: (accolade) exactement pareil sauf - devant la racine

* si a[-r;r] P = accolade accolade fermée

* pour a=r P est une droite D d'équation x=a , y=(r²-r²) =0 , z


Soit le cylindre d'équation x²+y²=r², P: y=b
* si -rbr , P = D1D2 avec
D1 : (accolade) x = (r²-b²) , y=b , z
D2 : idem sauf - devant la racine

* si b [-r;r] S=

* pour b=r P = D avec D: (accolade) x=0 , y=a , z

Posté par
xDaft-
amélioration 18-05-11 à 16:26

Pour la 1) il vaut mieux mettre tout point M de S au lieu de "l'ensemble des points M(x,y,z) de l'espace"

"accolade" signifie qu'il est plus clair de faire
x=0
y=3
z

que de les aligner

(ceci est un exemple)

A demain, essayez de pas recopier à la lettre

Posté par
xDaft-
erreur 18-05-11 à 17:19

Petite erreur à la 4)d. c'est P = D1D2 (et non pas D1D2)



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