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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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segment et barycentre

Posté par Profil coopers 31-03-23 à 00:43

Bonjour,

Voici l'énoncé d'un exercice :

Montrez que  le segment [AB]  d'un espace espace affine réel est l'ensemble des barycentres des points A et B  affectés de poids postitifs


voici le corrigé :


[AB] = {M E, \overrightarrow{AM}= t \overrightarrow{AB}   , t [0,1]}
={M E, 0=\overrightarrow{MA} + t (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB})      , t[0,1]}
={M E, 0=(1-t)\overrightarrow{MA} +     t    \overrightarrow{MB} , t[0,1]}

Par homogénéité du barycentre, cet ensemble est l'ensemble des barycentres des points A et B affectés de poids positifs

Prouvons le , montrons que tout couple de réels positifs (a,b) s'écrit
(c( 1 - t) ,   c t)

Résolvons le systeme
a= c (1 - t)
b= c t

si b=0, le systeme a pour solution  t =0,   c=a
si a=0, le systeme a pour solution t=1,   c= b
si ab0, t= b/c,    a= c-b ,  c= a+b d'où  t= b/(a+b)


Voici mes questions:


1)  "Par homogénéité du barycentre, cet ensemble est l'ensemble des barycentres des points A et B affectés de poids positifs "
pourquoi  les points A et B sont forcément  affectés de poids positifs ?
pourquoi  on utilise l'homogénéité ?  ( chaque poids est ensuite multiplié par c)

2) lors de la résolution du système pourquoi on écrit:
si a= 0 ...
si b=0...
si ab  0

Merci pour votre aide

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : segment et barycentre 31-03-23 à 09:46

Bonjour,

Citation :
"Par homogénéité du barycentre, cet ensemble est l'ensemble des barycentres des points A et B affectés de poids positifs "
pourquoi les points A et B sont forcément affectés de poids positifs ?
Car c'est démontré en dessous.

Par ailleurs, j'aurais aimé voir un "c non nul" quelque part.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : segment et barycentre 31-03-23 à 09:57

Pour plus de clarté, on peut noter

S = \left\{ M\in E, a\vec{MA}+b\vec{MB} = \vec{0}, a\in[0;+\infty[ , b\in [0;+\infty[ \right\}
Les 3 premières lignes du corrigé démontrent que le segment [AB] est inclus dans l'ensemble S.
La suite démontre l'autre inclusion.

Posté par Profil coopersre : segment et barycentre 31-03-23 à 15:13

Bonjour,

merci beaucoup pour vos réponses.

Je ne comprends toujours pas ceci:

Pourquoi on ne dit pas ,après les 3 premières lignes du corrigé, que l'ensemble [AB] est l'ensemble des barycentres des points A et B affectés des poids :
(1 - t) pour le point A
t pour  le point B
t[0,1]

Merci

Posté par
carpediem
re : segment et barycentre 31-03-23 à 15:57

salut

Sylvieg étant absente je me permets de répondre en lui relaissant la main dès qu'elle revient ...

oui on pourrait puisque c'est exactement la définition de "M est barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 - t et t."

et que ces deux réels sont bien positifs ...

mais on n'a as vraiment montré l'affirmation demandée parce que nos deux réels vérifient que leur somme est 1

par contre ce qui suit "prouvons-le" permet de montrer que c'est vrai pour tout couple de réels positifs (a, b) en posant t = b/(a + b) et 1 - t = a/(a + b) et alors t € [0, 1]

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : segment et barycentre 01-04-23 à 09:19

Merci carpediem pour ton intervention.

Je rajoute mon grain de sel :

Avec T = \left\{ M\in E, (1-t)\vec{MA}+t\vec{MB} = \vec{0}, t\in[0;1] \right\},
les trois premières lignes démontrent [AB] = T.

Il est presque évident que T est inclus dans S.
La suite est censée démontrer que S est inclus dans T.

Posté par Profil coopersre : segment et barycentre 04-04-23 à 14:52

Merci  beaucoup carpediem et Sylvieg, j'ai compris grâce à vos explications.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : segment et barycentre 04-04-23 à 17:06

De rien, et à une autre fois sur l'île \;

Posté par
carpediem
re : segment et barycentre 04-04-23 à 19:09

de rien



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