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segment et barycentre
coopers
Bonjour,
Voici l'énoncé d'un exercice :
Montrez que le segment [AB] d'un espace espace affine réel est l'ensemble des barycentres des points A et B affectés de poids postitifs
voici le corrigé :
[AB] = {M 
E, = t
, t
[0,1]}
={M E, 0= + t (
+
) , t
[0,1]}
={M E, 0=(1-t) + t
, t
[0,1]}
Par homogénéité du barycentre, cet ensemble est l'ensemble des barycentres des points A et B affectés de poids positifs
Prouvons le , montrons que tout couple de réels positifs (a,b) s'écrit
(c( 1 - t) , c t)
Résolvons le systeme
a= c (1 - t)
b= c t
si b=0, le systeme a pour solution t =0, c=a
si a=0, le systeme a pour solution t=1, c= b
si ab
0, t= b/c, a= c-b , c= a+b d'où t= b/(a+b)
Voici mes questions:
1) "Par homogénéité du barycentre, cet ensemble est l'ensemble des barycentres des points A et B affectés de poids positifs "
pourquoi les points A et B sont forcément affectés de poids positifs ?
pourquoi on utilise l'homogénéité ? ( chaque poids est ensuite multiplié par c)
2) lors de la résolution du système pourquoi on écrit:
si a= 0 ...
si b=0...
si ab 0
Merci pour votre aide
Bonjour,
"Par homogénéité du barycentre, cet ensemble est l'ensemble des barycentres des points A et B affectés de poids positifs "
pourquoi les points A et B sont forcément affectés de poids positifs ?
Par ailleurs, j'aurais aimé voir un "c non nul" quelque part.
Pour plus de clarté, on peut noter
Les 3 premières lignes du corrigé démontrent que le segment [AB] est inclus dans l'ensemble S.
La suite démontre l'autre inclusion.
Bonjour,
merci beaucoup pour vos réponses.
Je ne comprends toujours pas ceci:
Pourquoi on ne dit pas ,après les 3 premières lignes du corrigé, que l'ensemble [AB] est l'ensemble des barycentres des points A et B affectés des poids :
(1 - t) pour le point A
t pour le point B
t[0,1]
Merci
salut
Sylvieg étant absente je me permets de répondre en lui relaissant la main dès qu'elle revient ...
oui on pourrait puisque c'est exactement la définition de "M est barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 - t et t."
et que ces deux réels sont bien positifs ...
mais on n'a as vraiment montré l'affirmation demandée parce que nos deux réels vérifient que leur somme est 1
par contre ce qui suit "prouvons-le" permet de montrer que c'est vrai pour tout couple de réels positifs (a, b) en posant t = b/(a + b) et 1 - t = a/(a + b) et alors t € [0, 1]
Merci carpediem pour ton intervention.
Je rajoute mon grain de sel :
Avec ,
les trois premières lignes démontrent [AB] = T.
Il est presque évident que T est inclus dans S.
La suite est censée démontrer que S est inclus dans T.
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