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sens de variation
bonjour
petit probleme tout bete
je dois trouver le sens de variation de la fonction
f(x)= ln(x+1) + e^-x sur ]-1;+inf[
j'ai calculé sa derivee
f'(x) = 1/(x+1) - e^-x
= (-xe^-x -e^-x + 1) / (x+1)
mais je n'arrive pas a montrer que f est croissante. je m'embrouille ac les ln
suffit il de dire que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R et de plus 1/(x+1) est >= 0 sur ]-1;+inf[ ?
merci beaucoup
Bonjour
Sur ]-1;+oo[, x+1 est positif, donc il suffit d'étudier le signe de -xexp(-x)-exp(-x)+1 sur ]1;+oo[
On note g(x)=-xexp(-x)-exp(-x)=(-x-1)exp(-x)+1
Nous avons :
g'(x)=(x+1)exp(-x)-exp(-x)=xexp(-x)
Comme exp(-x) est positive, g'(x) est du signe de x, c'est à dire que g'(x) est négative sur ]-1;0] puis positive sur [0;+oo[
En -1, g(x) vaut 1
en 0, g(x) vaut 0
quand x tend vers +oo, g(x) tend vers 1
Finalement g(x) est donc positive sur ]-1;+oo[
d'où f' est elle aussi positive sur ]-1;+oo[
ah merci beaucoup!!
j'avais commencé a etudier -xe^-x -e^-x +1 ms je n'arrivais pas .. c pas si simple!
j'aurai jamais pensé de poser une autre fonction ..
donc il suffit de dire f' positive sur l'intervalle donc f croissante ?
merci bcp pr ton aide!!!!!
)
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