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sens de variation d'une suite

Posté par
tetras 01-02-25 à 18:06

bonjour un peu d'aide svp

un+1= e(un)

1)démontrer par récurrence que 1une^2
j'ai su faire cette question mais pas la suivante

2a)Démontrer que (un) est croissante
un+1=f(un) avec f(x)=ex
je peux démontrer que f est croissante mais cela a t'il un lien avec la suite.

2b)en déduire la convergence de la suite (un)

3) on pose vn=ln(un)-2
Démontrer que vn est géométrique de raison 1/2

3b) démontrer que vn=\frac{-1}{2^{n-1}}
3c) en déduire une expression de un en fonction de n
3d) calculer la limite de la suite un

Posté par
malou Webmasterre : sens de variation d'une suite 01-02-25 à 18:12

Bonsoir

oui cela a un lien une fois la 1re question traitée

Posté par
tetrasre : sens de variation d'une suite 01-02-25 à 18:22

j'ai traîté la première j'ai montré que


1eeuke^2

Posté par
carpediemre : sens de variation d'une suite 01-02-25 à 18:29

salut

il manque le premier terme ...

avec ta fonction f : u_{n + 1} = f(u_n) $ et $ u_{n + 2} = f(u_{n + 1})

suivant le sens de variation de f comment sont rangés u_{n + 2} $ et $ u_{n + 1} suivant l'ordre de u_{n + 1} $ et $ u_n  ?

Posté par
malou Webmasterre : sens de variation d'une suite 01-02-25 à 18:30

la 1re dit certainement
\forall n\in ?? \quad 1\le u_n\le e^2

d'ailleurs l'énoncé n'est pas complet car cette suite n'est pas initialisée

Posté par
tetrasre : sens de variation d'une suite 01-02-25 à 18:33

ah je pensais avoir bien recopié
oui un définie pour tout n et u0=1

Posté par
tetrasre : sens de variation d'une suite 01-02-25 à 19:29

ah encore une récurrence?
u1=e
au rang 0 u1>u0
en supposant que uk+1>uk
en utilisant le sens de variation (croissante de f)
j'obtiens uk+2>uk+1
la proposition est héréditaire elle est vraie pour tout n entier
?

Posté par
tetrasre : sens de variation d'une suite 02-02-25 à 11:03

donc u est croissante et majorée vers une limite l solution de l'équation f(l)=l f étant continue sur R+*

e\sqrt{l}=l \\ \\ e\sqrt{l}-\sqrt{l}\sqrt{l}=0

\sqrt{l}(e-\sqrt{l})=0 \\ \\ l=e^{2}

Posté par
tetrasre : sens de variation d'une suite 02-02-25 à 11:27

je bloque à la question 3
comment montrer que

vn+1= ln(e\sqrt{un})-2=\frac{1}{2}ln(un)-1

j'ai essayé de transformer ln [(tex]e\sqrt{un})[/tex] en

\Large ln(un)^\frac{e}{2}
pouvez vous m'aider?

Posté par
carpediemre : sens de variation d'une suite 02-02-25 à 12:51

v_n = \ln u_n - 2 \iff u_n = e^{v_n + 2} et on remplace dans la relation de récurrence ...

Posté par
tetrasre : sens de variation d'une suite 02-02-25 à 13:41

un+1=

e\sqrt{e^{2+v(n+1)}

mais la question porte sur la nature de v!

Posté par
fph67re : sens de variation d'une suite 02-02-25 à 14:25

Bonjour,

3)a) Pour montrer la relation, il suffit d'utiliser les propriétés de la fonction logarithme :
ln(a*b)=ln(a)+ln(b)
ln(cd)=d*ln(c)

Posté par
tetrasre : sens de variation d'une suite 02-02-25 à 14:51

j'ai une erreur de signe
vn+1=ln(un+1)-2

=ln(e(un)-2

=ln(e)+ln(un)^{\frac{1}{2}} \\ \\ =1+\frac{1}{2}ln(un) \\ \\ =\frac{1}{2}(ln(un)+2)

et il faudrait trouver -2!

Posté par
fph67re : sens de variation d'une suite 02-02-25 à 14:59

Oui, tu as perdu en route le -2 de la relation initiale
c'est
ln(e)+1/2*ln(un)-2
soit
1/2*ln(un)-1
OK ?

Posté par
tetrasre : sens de variation d'une suite 02-02-25 à 15:15

Merci j'ai corrigé.
Un peu hard !

Posté par
fph67re : sens de variation d'une suite 02-02-25 à 15:37

Et tu n'es pas au bout de tes peines !

Posté par
carpediemre : sens de variation d'une suite 02-02-25 à 16:05

u_{n + 1} = e \sqrt {u_n} \iff e^{v_{n + 1} + 2} = e \sqrt {e^{v_n + 2}} \iff e^{v_{n + 1}} = \sqrt {e^{v_n}}

et il suffit de prendre le logarithme ...

Posté par
tetrasre : sens de variation d'une suite 02-02-25 à 18:16

carpediem tu m'as perdu

j'ai trouvé un =

\Large e^{-2(\frac{1}{2})^{n}+2}

Posté par
carpediemre : sens de variation d'une suite 02-02-25 à 18:25

carpediem @ 02-02-2025 à 16:05

u_{n + 1} = e \sqrt {u_n} \iff e^{v_{n + 1} + 2} = e \sqrt {e^{v_n + 2}} \iff e^{v_{n + 1}} = \sqrt {e^{v_n}} \red \iff v_{n + 1} = \dfrac 1 2 v_n

en prenant le logarithme ...


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