Bonjour LERAOUL
En considérant les bases duales tu arriveras facilement à la conclusion.
Tu considère donc deux cas :
soit x est proportionnel à y et le résultat est immédiat
Soit x != y et là tu considères les bases duales

1.
Si dim(E) = 1 il existe a   E \{0}  tel que E = K.a   .    
Si x E il existe donc un seul t K tel que x = t.a
On peut noter u(x) cet élément .
L'application u est linéaire et à valeurs dans K  ; c'est donc un élément de E* .
Si x E et y E a donc x - y =( u(x) - u(y) ).a .
Si on a    u(x) = u(y) on a   u(x-y).a = 0 et donc  x - y = 0 .
U est séparante .

2.
Si dim(E) = 2 ......
         à toi de jouer .

3.
  Dans le cas où dim(E) > 1  :
    Soit (x,y) E²  tels que x y et F = K.x + K.y .
On a dim(F = 1 ou 2 .Il  existe donc  u F* telle que u(x) u(y) .
    Il te reste à voir que   u peut se prolonger à  E en une forme linéaire w sur E et on a  w(x) w(y) .

je ne vois pas bien ce que tu veux dire; mais regarder un peu le cas où .  On n'a discuté de ça avec les camarades c'est comme s'il y'a un problème au niveau de l'énoncé.

salut

encore un énoncé incompréhensible ...

et toujours pas de saut de lignes pour aérer ... savoir où ça s'arrête, où ça reprend ...

dans les deux premières lignes : qu'est-ce qui est de l'ordre :

d'une définition
d'un énoncé

et je suis sur que ce n'est pas écrit ainsi à l'origine ...

je m'adressais à jvsdb

l'énoncé là est comme ça; et merci pour tes remarques je tiendrai compte prochainement

LERAOUL

Ton énoncé est certainement montrer que E* sépare les points de E .
Il y a des  parties   non vides  de E* qui ne   séparent  pas les points de E .

En dehors de {0} , si E = K²  par exemple l'application p :  (x,y) x  est dans E* mais n'est pas séparante

de même si u et v sont deux vecteurs orthogonaux (et non nuls) alors la forme linéaire x --> u.x ne sépare pas les vecteurs v et 2v ...

donc l'énoncé n'est certainement pas rédigé tel que tu l'as rédigé ...

L'énoncé est peut-être :
Montrer que si  V est une  partie de  E* qui  sépare les points de E , alors V = E* \{0}

(autrement dit : Mq E* \{0} est la seule  partie de  E* qui  sépare les points de E )

une base duale sépare déjà les points ? Non ?

oui bien sur ... ce qui permettra de prouver ce qu'on veut démontrer  ...  soit ce que etniopal a fort probablement énoncer correctement !!

et de toute façon on peut très bien (avoir à) redémontrer ce résultat aussi ...

Quoi qu 'en dise   LERAOUL  , "  l'énoncé là ne peut être   comme ça " .  Les gardes rouges de l'île interdisant les scans de sujets on risque de ne jamais savoir ce qu'i était exactement .

Voilà ce que je propose :

Soit E un K-ev de dimension finie  > 0 .
S i A   E on pose (classiquement) A° = { u E* | x   A,  u(x) = 0 } .
De même on pose , si W   E* , W° = { x E | w   W , w(x) = 0 } .

On montre  facilement que   pour tout A E , si A ' désigne le sv de E engendré par A , on a :  A ' = A°° (et , de même  , pour tout W E* , W°° est le sv W ' de E*  engendré par W )

Maintenant dire que V E* sépare les points de E c'est dire que V° = {0} donc que V ' = V°° = {0}° = E* .

Donc V E* sépare les points de E  SSI  V engendre E*
(et dualement  B E sépare les points de E*  SSI  B  engendre E ).

voila qui est au propre

c'est clair et limpide

à LERAOUL de faire son travail ...

Y a t il une condition sur la dimension de E pour que la forme bilinéaire b : E*xE-> IR ; b(f, x) = f(x) soit non dégénérée ?
En dimension finie c'est assez simple mais je ne sais plus en dimension infinie.🤔