Une idée m'est passée par la tête, je n'ai absolument pas regardé ce que ca valait, mais je n'ai pas réussi à m'en détacher.
Si tu écris un nombre x tel que x<=1 en binaire, il va s'écrire
x=0,a1a2a3a4a5.....
avec ai qui sont soit 1 soit 0

c'est effectivement le développement diadique qu'il faut établir....
tu peux pour comprendre partir du résultat :
si  x= 0, a_1....a_n.... alors  2x = a_1,a_2...
donc  a_1  est la partie entière de 2x .
a_1/2 =< x < (a_1+1)/2  ensuite 2x-a_1 = 0,a_2..
donc  a_2 est la partie entière de 4x-2a_1 etc...
ensuite reste à voir que ta suite  a_n  ainsi définie par récurrence convient.

Pour une preuve en base 10 au lieu de 2 :
http://modular.fas.harvard.edu/scans/papers/hardy/Hardy-Wright-Theory_of_Numbers.pdf

page 107 .

lolo

merci de m'avoir répondu mais je comprends rien du tout, (et la page internet ne marche pas)

ok je n'aurais pas dû utiliser la notation avec des virgules  si la somme des  a_n/2^n vaut  x je dis que 2x = somme des a_n/2^(n-1) , comme tu as remarqué que somme a_n/2^n < 1 tu dois avoir facilement que  a_1 est la partie entière de  2x ?

c'est le début de la construction de la suite.
Ca va ça ?

lolo

ensuite je trouve a_2 partie entière de 4x-2a_1 et a_3 partie entière de 8x-4a1-2a2. Si je dis que la relation de récurrence est an partie entière de 2^nx-2^(n-1)a1-2^(n-2)a_2... ça marche ou pas? Mais comment on voit que an a toujours valeurs 0 ou 1 dans ce cas?

oui c'est ça , par récurrence et en montrant aussi que
0=< x - a_1/2 < 1/2 puis que  x- a_1/2 - a_2/4 <1/4 etc.... ça doit marcher.

lolo

merci pour toutes ces précisions. J'ai encore une question où j'aurai besoin d'indications pour le point de départ. c'est à peu près le meme genre de questions :
j'ai une suite T_n qui peut prendre les valeurs -1 ou 1 seulement. j'ai montré que la série de terme général u_n=(T_0...T_n)/2^n converge et que sa limite est entre -2 et2. Maintenant j'ai un réel p compris entre -2 et 2 et je dois montrer qu'il existe une suite T_n qui prend les valeurs -1 et 1 telle que p est la limite de la série de terme général u_n.
J'hésite entre soit refaire la meme chose qu'à la première question mais je ne trouve pas de suite avec partie entière ou bien faire un truc avec la valeur absolue de u_n qui vaut toujours 1/2^n dans ce cas... Par om je dois commencer??

C'est le même principe : si  -2 =< p =< 2 , si p>0 tu peux prendre  u_0 = 1 sinon  u_0 = -1 ,
d'où  p - u_0  est dans [-1,1] , tu recoupes en deux si  p-u_0 >0  tu prends  u_1 = 1 et -1 sinon d'où  p - u_0 -u_1 dans [-1/2 , 1/2]  etc....ça converge forcément.

lolo