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Si n impair alors n divise une somme

Posté par
Pechor 02-08-22 à 18:19

Bonjour,  j'espère que vous allez bien.
Aujourd'hui j'ai voulu faire un exercice pour m'entraîner mais je bloque complètement sur la 2ieme question

Voici la première que j'ai réussi en utilisant le petit theoreme de fermat.
1)Soit p un nombre premier, montrer que p divise \sum_{1}^{p-1}{k^{p-1}}

Et la deuxième question donc je ne vois pas comment utiliser la première.
2)Soit n€N*, montrer que n est impair si et seulement si n divise \sum_{1}^{n}{k^{n}}

Si vous avez des pistes merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Si n impair alors n divise une somme 02-08-22 à 18:37

Bonjour,
Je suppose que c'est k qui va de 1 à p-1.
Dans 1), pour p = 3, ça donne 12+ 22 qui n'est pas divisible par 3.
Pour p = 5, ça donne 14+ 24+ 34 + 44 pas plus divisible par 5 non plus.
Il manque un 1 devant la somme.

Posté par
Pechorre : Si n impair alors n divise une somme 02-08-22 à 18:54

Ah oui pardon je l'ai oublié il y a bien un +1 après la somme

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Si n impair alors n divise une somme 02-08-22 à 20:34

Je ne vais plus être disponible ce soir.
D'autres aidants vont sans doute pouvoir t'aider d'ici demain.
Bonne soirée.

Posté par
Pechorre : Si n impair alors n divise une somme 02-08-22 à 21:06

Ca marche merci, bonne soirée a vous

Posté par
ty59847re : Si n impair alors n divise une somme 02-08-22 à 23:41

Très souvent, quand on doit démontrer une équivalence, une des 2 implications est facile à démontrer.
Je dis ça comme ça, en passant en coup de vent.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 01:00

Bonsoir


\Large\boxed{2} \Large\boxed{\Longrightarrow}


juste une idée

supposer n impair et remarquer que \Large\boxed{S_n=\sum_{k=1}^nk^n=\sum_{k=0}^nk^n=\sum_{k=0}^n(n-k)^n}.


D'où \Large\boxed{2S_n=\sum_{k=0}^n\left(k^n+(n-k)^n\right)}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 12:10

Bravo pour ton idée elhor_abdelali !
Une question pour vérifier que j'ai bien compris :
Supposer n impair est-il utile pour démontrer l'égalité obtenue ?

Posté par AitOuglifre : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 12:53

Bonjour Sylvieg
L'égalité est intéressante dans le cas où n est impair, qui permet de montrer l'implication la plus difficile. L'autre implication découle de la question précédente.

Posté par
Ulmierere : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 14:02

Sylvieg @ 03-08-2022 à 12:10

Bravo pour ton idée elhor_abdelali !
Une question pour vérifier que j'ai bien compris :
Supposer n impair est-il utile pour démontrer l'égalité obtenue ?


Le fait d'ajouter un terme pour k = 0 ne nécessite pas n impair, puisque par hypothèse n\in\N^\ast, donc on aura toujours 0^n = 0 et jamais 0^0 = 1.


On pourrait simplement grouper les termes par deux. Le premier avec le dernier, le deuxième avec l'avant dernier etc. Lorsque n est pair le compte tombe juste et il n'y a pas de terme isolé correspondant au (n-1)/2 ème terme, mais quand n est impair ce terme est présent.

En rajoutant un terme en k = 0, on groupe le 0ème avec le dernier, le 1ème avec l'avant dernier etc, de sorte que quand n est impair le compte soit juste et quand n est pair il y ait un terme en plus (il y en a maintenant n+1 et non n).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 15:09

Merci AitOuglif et Ulmiere pour vos réponses.

Pour démontrer \sum_{k=0}^nk^n=\sum_{k=0}^n(n-k)^n},
Ne suffit-il pas de faire le changement k' = n-k ?
J'ai trouvé ensuite comment utiliser l'égalité pour le cas n impair.

Mais, comme Pechor, je ne vois pas comment utiliser 1) pour l'autre implication

Posté par
Pechorre : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 17:50

Merci beaucoup pour  vous réponse,  j'ai réussi a démontrer l'égalité grâce au changement d'indice,  k'=n-k (comme sylvieg) mais je ne parvient pas à trouver  l'utilisation du fait que n est impair... j'ai essayé le binôme de Newton puis la congruence modulo n, mais je tourne en rond et reviens a la somme du début.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 18:02

Insiste avec une congruence modulo n.

Posté par
Pechorre : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 18:31

Mais alors il faut utiliser le binôme de Newton ? Car pour moi la seule utilisation du fait que n est impair et que on peut connaître le (-1)^n
Mais je vais ressayer merci

Posté par
jandri Correcteurre : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 19:31

Bonjour,

pour la question 2 le sens facile est celui démontré par elhor_abdelali.

Avec la formule du binôme on peut même démontrer un résultat plus fort :

si n est impair alors n^2 divise S_n=\sum_{k=1}^n k^n.

Pour démontrer le sens difficile il faut écrire n=2^r m avec m impair et r\geq1.

On montre que (2k)^n\equiv0\pmod{2^r} et que (2k+1)^n\equiv1\pmod{2^r}.

On en déduit que S_n\equiv \dfrac n2\pmod{2^r} puis que n ne divise pas S_n.

Posté par
Ulmierere : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 20:29

Quelques précisions sur ce que dit jandri


On utilise les propriétés au quotient de l'addition et de produit modulo n.

2S_n est congru à \sum_{k-1}^n k^n + (-k)^n = (1+(-1)^n)\sum_{k=1}^n k^n modulo n.

On aura donc toujours (1-(-1)^n)S_n = 0 mod n.
Si n est impair cela équivaut à 2S_n = 0. Mais n est premier avec 2 donc S_n = 0 mod n.



Réciproquement, si n = 2m, S_n + m^n = \sum_{k=0}^{m} k^n + (n-k)^n.
Un nombre étant de même parité que son carré ou n'importe laquelle de ses puissances, S_n + m^n est de même parité que \sum_{k=0}^m k + (n-k) = n(m+1) = 2m(m+1), qui est pair.

Donc S_n + m^n est pair, i.e S_n et m^n sont de même parité ; puis S_n est de même parité que m = n/2.

En prenant les choses modulo m au lieu de modulo 2, on a aussi S_n congru à 2\sum_{k=0}^{m} k^n modulo m.

Alors ou bien m est impair (2 premier avec m) et on peut appliquer le morphisme de Frobenius et le théorème des restes chinois pour constater que la parité de S_n/2 est celle de S_m^2 et donc aussi celle de S_m. Ou bien m est pair et rebelotte.

On est donc ramené à écrire n = 2^rm avec m impair et en déduire S_n est congru à 2^{r-1}m^2 modulo n qui est non nul.

Si je ne dis pas trop de bêtises

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 20:41

Pechor @ 03-08-2022 à 18:31

Mais alors il faut utiliser le binôme de Newton ? Car pour moi la seule utilisation du fait que n est impair et que on peut connaître le (-1)^n
Mais je vais ressayer merci
Le binôme n'est pas utile.
A quoi est congru (n-k) modulo n ?

Posté par
Pechorre : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 21:57

Ah oui effectivement 😅, j'y ai pas pensé,  merci beaucoup.

D'ailleurs merci beaucoup a jandri et Ulmiere pour ces précision c'est très intéressant ! J'irai essayer de le renseigner pour aller plus loin et lieux comprendre

Mais parcontre je ne vois toujours pas comment faire pour le sens indirect,  je dois me ramener à un nombre premier ? Pour pouvoir utiliser la question 1?

Posté par
jandri Correcteurre : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 22:15

Je ne vois pas de rapport entre la question 1 et la question 2.

Posté par
Pechorre : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 22:17

Parce que dans la question on utilise le fait que p est premier,  mais la n est juste un entier.

Posté par
jandri Correcteurre : Si n impair alors n divise une somme 03-08-22 à 22:46

Dans la première question la somme étudiée est T_n=1+\sum_{k=1}^nk^n lorsque n=p-1 avec p premier.

Mais dans la seconde question la somme étudiée est S_n=\sum_{k=1}^nk^n, ce n'est pas la même chose (on n'ajoute pas 1 au sigma).

Posté par
Ulmierere : Si n impair alors n divise une somme 04-08-22 à 11:38

Je suppose qu'il ddoit être possible de trouver un moyen de l'utiliser, en utilisant une version un poil plus générale du petit théorème de Fermat :

Citation :
si k\wedge n = 1, alors k^{\phi(n)} = 1 \textrm{ mod } n


Le lien que je suppute étant \phi(p) = p-1. Peut-être aussi que les sommes que nous étudions sont, ramenables modulo n aux mêmes sommes en remplaçant n par son radical, ce qui permettrait d'écrire \phi(n) = \phi(rad(n)) = \prod_{p|n} (p-1) ?


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