Bonjour,
Pour éviter de polluer un topic en cours, j'ai ouvert un nouveau sujet.
J'ai bien lu que la loi exponentielle s'applique a des évènements aléatoires indépendants et "sans mémoire".
Par exemple le durée de vie des led suit cette loi exponentielle, puisque une led ne s'use pas, par contre, les lampes à filament s'usent, donc suivent une autre loi.
Cette loi a un paramètre lambda.
On peut lire dans la documentation que l'espérance de cette loi est 1/, et que la médiane est ln(2)/.
Cette médiane est définie comme étant la valeur qui correspond à la probabilité = 0.5
Donc, on a une chance sur 2 que la durée de vie de la led de l'exemple dépasse cette valeur.
Si cette conclusion est juste, on est alors dans l'application directe de la loi de Bernoulli qui équivaut à la loi normale discrétisée. (en fait c'est la loi normale qui est une généralisation de la loi de Bernoulli).
Que représente alors l'espérance pour la loi exponentielle ?
Merci d'avance.
Bonjour,
Dans le but de mieux comprendre la loi exponentielle, je me suis posé un petit problème de gestion de stock.
Dans un certain environnement, il y a 100 lampes, type Led, dont la durée de vie suit une loi exponentielle de paramètre lambda = 0.001
La médiane est donc ln(2)/lambda ~700 heures.
Toutes ces lampes sont allumées 7j/7 et 24h/24. Quand une lampe claque, on la change immédiatement.
Le but est de calculer le stock nécessaire.
Les commandes de lampes de remplacement se font à 8H les jours ouvrables (5 jours sur 7).
Les livraisons de lampes, commandées au moins 3 jours avant (délais de courrier), se font à 18H les jours ouvrables. C'est à dire que le jour de la livraison de la commande, il peut y avoir 0, 1, 2 ou 3 colis.
Petit amusement pour ce long week-end.
Bien sûr, si l'énoncé parait imprécis, je donnerai les détails demandés.
Des réponses seront peut-être postées ici
Cela dit, c'est bien toi qui a écrit :
Bon, en fait, je me suis posé cette question, uniquement dans l'esprit informatique, simulation etc.
Autrement dit, je n'ai pas LA réponse à mon exo., j'ai la réponse que j'ai trouvée, et comme je l'ai déjà dit, je ne suis pas vraiment compétent, donc la seule chose que je sache faire dans ce domaine est une simulation.
J'espère plus de réponses de la part d'informaticiens que de spécialiste de proba et des stats, pour des raisons que tu devines.
Dans mon précédent message, en fait j'aurais dû dire, "la loi normale est la généralisation du théorème de Bernoulli". Ceci est expliqué pages 144 et suivantes dans le document que j'ai cité et que j'ai appelé Gauss1_19.pdf. J'espère que cette réponse te convient.
Concernant la loi exponentielle.
Comme je l'ai dit dans mon premier message (ouverture du topic) dans la documentation que j'ai lue, pour la loi exponentielle, la valeur médiane =ln(2)/ est telle que la probabilité de durée de vie supérieure à la médiane est 0.5.
Mais si tu veux faire la simulation en partant d'une probabilité 1/2 de durée de vie = 1000 heures, le résultat sera différent, mais fondamentalement ça ne change pas grand-chose, puisqu'on ne pourra jamais vérifier l'un ou l'autre résultat.
Ah, déjà, on voit un problème de compréhension se pointer.
Tu parles de une loi exponentielle de paramètre lambda = 0.001
Comme tu le dis, cette loi a pour médiane
Comme tu le dis, une led a une chance sur deux pour vivre plus longtemps (ou moins longtemps).
Je n'ai jamais dit que la médiane était de 1000...
J'ai dit que l'espérance de la loi est 1000. L'espérance et la médiane sont deux choses très différentes !
La question préliminaire à toute simulation est : comment simuler la durée de vie d'une led par la loi exponentielle de paramètre 0.001 (ie médiane 693, espérance 1000, etc.) ?
Oui, je sais bien que l'espérance et la médiane, c'est pas pareil.
Il me semble que l'énoncé est clair, on connait la loi de durée de vie des Led, et on connait le contexte, quel stock doit-on prévoir ?
Si c'était un QCM, je poserai la question en donnant 3 ou 4 nombres, mais c'est pas un QCM.
Si le problème ne t'intéresse pas, tu passes à autre chose.
La seule question posée est "combien doit-on avoir le lampes en stock".
Le reste, c'est à dire la méthode, les choix etc. on verra après.
Tu veux simplement un nombre, peu importe qu'il soit justifié ou pas. Donc les mathématiques ne t'intéressent pas. C'est bien ce que je disais au début : Tu connais ta réponse à ton exo, et tu meurs d'envie de l'écrire, alors vas-y...
Ta réaction a de quoi surprendre.
Il y a un problème posé. En l'occurrence, c'est moi qui me le suis posé, mais ça pourrait être n'importe qui d'autre qui me l'aurait posée.
J'ai calculé une valeur, résultat de la question.
Je trouve que ce problème mérite qu'on s'y intéresse (il s'agit de stockage, donc de sous) : je la soumet à 2 forum.
La seule réponse que j'ai eue est la tienne, que l'on pourrait résumer de la façon suivante : "comment tu as fait ?".
Un peu désolant, tu trouves pas ?
Une conclusion qui vient à l'esprit : seuls les maths qui correspondent à des exercices catalogués et répertoriés ont de l'intérêt pour les matheux.
Je te pose la question "comment as-tu fait ceci cela" (sur des questions élémentaires, auxquelles tu n'as pas pu répondre !) car je sais que c'est la seule chose qui t'intéresse, parler de toi (comme ici Regression non-linéaire (Mixed effect model) où tu es complètement à coté du sujet...)
En effet, vu ce qui s'est passé ici ou ailleurs, et tes propos méprisant ci-dessus sur les spécialistes en probas(comme Sylviel et bien d'autres), j'ai des doutes sur ta volonté d'ouverture scientifique... C'est pourquoi, je t'ai posé une toute petite question mathématique. On a bien vu comment tu as repoussé grossièrement la question.
Ok, tu as calculé un nombre, parfait.
Tu penses pas qu'on s'éloigne du sujet ?
C'est pas moi qui ai parlé de Sylviel, mais d'après ce qu'il a dit (ses références), ce type de problème est justement dans le domaine de ses compétences.
Son intervention à propos de la gestion de stock de pièces détachées ne m'a pas vraiment convaincu.
bon, soyons clairs : je ne vais pas passer mon week-end de Pâques à surveiller que ça ne part pas en vrille, alors ça va être verrou le temps que les esprits se calment.
Ce problème a été posé au début d'un long week-end, ce n'était pas une bonne idée, la discussion a été fermée. Cependant ces échanges ont permis de vérifier que les hypothèses proposées étaient claire et suffisamment précises pour qu'il n'y ait pas d'ambiguïté, donc il n'est pas vraiment utile de polémiquer une nouvelles fois. Voici l'énoncé :
Dans un certain environnement, il y a 100 lampes, type Led, dont la durée de vie suit une loi exponentielle de paramètre lambda = 0.001
La médiane est donc ln(2)/lambda ~700 heures.
Toutes ces lampes sont allumées 7j/7 et 24h/24. Quand une lampe claque, on la change immédiatement.
Le but est de calculer le stock nécessaire.
Les commandes de lampes de remplacement se font à 8H les jours ouvrables (5 jours sur 7).
Les livraisons de lampes, commandées au moins 3 jours avant (délais de courrier), se font à 18H les jours ouvrables. C'est à dire que le jour de la livraison de la commande, il peut y avoir 0, 1, 2 ou 3 colis.
A mon avis, la meilleurs façon de calculer cela est de faire une simulation (il faut bien que les machines servent à quelque-chose), mais une démonstration théorique sera toujours intéressante.
J'ai une solution et naturellement je ne prétends pas que c'est LA solution.
*** message déplacé ***
Bonjour
Pour aborder un début de solution pouvez vous nous indiquer, dans la mesure du possible, les renseignements suivants :
a) quel est le stock "minimal" ou de "sécurité" existant dans ce "certain environnement" de lampes led ;
b) ces lampes me paraissent essentielles pour ce "certain environnement" et il doit pas y avoir de rupture d'approvisionnement :
* rupture du fait du fournisseur de lampes led : prévoir une diversification de l'approvisionnement pour éviter les défauts fabrication, incendie, grève, lock-out ;
* rupture du fait du transporteur : incendie, grève etc... ;
* rupture du fait de l'entreprise : autres faits... (les malheurs arrivent très vite) ;
Quelles sont les mesures qui sont prises car elles peuvent influencer le calcul du stock.
c) quel est le prix (hors tva) d'une lampe led ;
d) quel est le coût d'un livraison (hors taxe de tva) pour une quantité à nos indiquer de lampes led ;
Les considérations financières sont aussi à prendre en considération pour la détermination du stock nécessaire.
A vous lire
A bientôt
Juste pour signaler que j'ai éditer mon message sur les mathématiques.net pour donner une preuve de ce que je dis (accessoirement ce sont des évidences, vériables avec un niveau de TS).
Il est désolant que tu préfères ne pas regarder cette preuve (comme celle d'une discussion passée) et prétendre
que "tu n'es pas convaincu" plutôt que de donner des arguments un tant soit peu fondé.
La preuve est que tout évènement aléatoire respecte la loi normale. (Détails déjà expliqués largement).
Le résultat d'essais, c'est à dire de simulations, voir "méthode de Monté-Carlo".
Mois 0
Le stock minimum du mois est 26
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 26
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 26
Le stock minimum du mois est 30
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 26
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 26
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 29
Le stock minimum du mois est 26
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 29
Le stock minimum du mois est 29
Le stock minimum du mois est 25
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 25
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 29
Le stock minimum du mois est 26
Ceci n'est qu'un petit résumé.
Le plus simple pour t'en convaincre est encore de faire une simulation.
<< Le plus simple pour t'en convaincre est encore de faire une simulation. >>
Encore faut-il savoir réaliser une simulation sans se planter lourdement, et savoir l'interpréter sans faire de complet contre-sens. Cela demande une certaine compréhension...
<< La preuve est que tout évènement aléatoire respecte la loi normale. (Détails déjà expliqués largement). >>
Grossier contre-sens déjà expliqué largement...
En plus, tu ne sais même pas ce que signifie le mot "événement aléatoire" en mathématique. J'attends toujours la définition de ta part (ou un lien pointant sur une définition que tu comprennes !).
<< Ceci n'est qu'un petit résumé. >>
Ceci n'est pas un résumé, c'est un listing brutal, sans aucune explication !
Bon, pour ceux qui veulent faire de maths, voici une piste de réflexion :
D'après l'énoncé, une ampoule suit la exponentielle de paramètre 0.001
Il y a intervention dès qu'une ampoule parmi les 100 claque. On considère que chaque ampoule a une durée de vie indépendante des autres (ce qui n'est pas si clair que ça dans la réalité : une surtension pourrait faire tout claquer, etc.) Alors, l'événement aléatoire d'intervention pour réparation suit la loi exponentielle de paramètre 100 * 0.001 = 0.1
Par ailleurs, l'énoncé écrit par Dizlogic est très riche concernant la livraison des ampoules, mais il a oublié des impondérables genre week-end prolongé, grève, diverses erreurs humaines qui peuvent retarder la livraison, etc. Bref, personnellement, j'ai choisi de modéliser simplement la livraison par la loi uniforme entre 4 et 7 jours.
Comment réaliser une simulation :
Pour l'approvisionnement d'ampoules, c'est simple : on utilise rand(4..7) qui suit la loi uniforme sur les entiers en 4 et 7 (jours) ;
Pour le remplacement des ampoules, c'est pas compliqué : on utilise -10 * ln( 1 - rand() ) qui la loi exponentielle de paramètre 0.1 lorsque rand() suit la loi uniforme sur les réels de l'intervalle [0..1[ . Ici, la formule sort un nombre d'heures.
Voilà, une approche mathématique est spécifiée, et même s'il reste encore des choses à préciser, chacun programmera dans son langage préféré pour déterminer le stock d'ampoules suffisant en fonction du risque (donné par 1-proba sur les résultats numériques ci-dessous) qu'il veut prendre.
J'obtiens expérimentalement les résultats suivants :
1 ampoule_stockée, proba = 0
2 ampoules_stockées, proba = 0.0001508159141
3 ampoules_stockées, proba = 0.001176364130
4 ampoules_stockées, proba = 0.003197297379
5 ampoules_stockées, proba = 0.008988628480
6 ampoules_stockées, proba = 0.02292401894
7 ampoules_stockées, proba = 0.04735619702
8 ampoules_stockées, proba = 0.09058003800
9 ampoules_stockées, proba = 0.1502729768
10 ampoules_stockées, proba = 0.2312309595
11 ampoules_stockées, proba = 0.3314330528
12 ampoules_stockées, proba = 0.4403221428
13 ampoules_stockées, proba = 0.5496938437
14 ampoules_stockées, proba = 0.6525502971
15 ampoules_stockées, proba = 0.7411998914
16 ampoules_stockées, proba = 0.8132597352
17 ampoules_stockées, proba = 0.8736464272
18 ampoules_stockées, proba = 0.9160860254
19 ampoules_stockées, proba = 0.9476065514
20 ampoules_stockées, proba = 0.9682984948
21 ampoules_stockées, proba = 0.9817512743
22 ampoules_stockées, proba = 0.9895635386
23 ampoules_stockées, proba = 0.9947516060
24 ampoules_stockées, proba = 0.9975869452
25 ampoules_stockées, proba = 0.9987934725
26 ampoules_stockées, proba = 0.9993665730
27 ampoules_stockées, proba = 0.9996983680
28 ampoules_stockées, proba = 0.9998491839
29 ampoules_stockées, proba = 0.9999698366
30 ampoules_stockées, proba = 0.9999999998
Je tiens à remarquer que tu n'as pas défini "stock suffisant". Si par stock suffisant tu entends :"être à coup sûr capable de remplacer les lampes qui ont grillés" alors je t'ai démontré que tes stocks étaient insuffisant.
La tu annonces des stocks, qui vérifie une propriétée non précisée, que tu assoies sur un résultat grossièrement faux (tous les intervenants sur au moins 4 forums te l'ont expliqués).
Bonjour Léon,
Si j'ai bien compris, tu considères que la durée de vie moyenne d'une lampe est 1000 heures.
D'après ce que j'ai compris de la loi exponentielle (sujet de ce topic), la médiane = ln(2)/ est telle que il y a une chance sur 2 que sa durée de vie lui soit supérieure. Mais comme je découvre la loi exponentielle, je n'en connais pas toutes les finesses.
Bon, tu as un peu changé les hypothèses, mais on arrive sensiblement à la même valeur : il faut stocker 30 ampoules.
Au moins tu as fait le calcul et la simulation, c'était le but, merci.
Non il ne dis pas "il faut stocker 30 ampoules", il dit, "si tu stockes 30 ampoules tu as environ 99.99999998% de chances de ne pas tomber en rade". Si tu stockes 20 ampoules tu as environ 97% de chance de ne pas tomber en rade. Peut-être est-ce suffisant ?
En tout cas avec 30 ampoules tu n'es pas sûr de ne pas tomber en rade, tu as juste une estimation du risque.
Le problème sera bien formulé le jour où tu diras "je veux avoir au pire tel risque de tomber en rade sur telle période, combien d'ampoule me faut-il".
Sauf erreur de calcul, la simulation de Léon vaut pour une durée d'environ 10000 ans. Personnellement, ça me suffit comme sécurité.
Je t'avais déjà donné, à ta demande, un délai de 36 mois. Avec mes hypothèses de base, ça faisait 30 lampes.
Encore une fois tu ne comprends pas le problème.
Que ce soit 36 mois est une chose, mais cela ne suffit pas.
la question est "quelle probabilité de défaillance acceptes tu" ?
Si tu réponds 0, alors il te faut un stock infini (même pour une durée de 1h),
je te l'ai démontré. Si tu fixe une autre proba, si tu admets un certain risque, alors
tu auras un stock fini.
L'objectif de cette discussion n'est pas de dire qu'il faut un stock démentiellement important, mais qu'il faut un problème bien formulé pour avoir une réponse. En particulier, à partir des résultats de Léon tu conclus "il faut 30 ampoules". Pour moi, 20 ampoules me semble déjà bien suffisante : avoir 97% de chance de ne pas tomber en manque de lumière semble raisonnable. Par contre si on parlait d'un système de sécurité où des centaines de vie sont en jeu (système vitaux d'avions typiquement) un risque de 10^-9 n'est pas déraisonnable (et on peut même vouloir plus).
@ Sylviel,
Tu parles de pourcentage de risque, je suppose que ça représente quelque-chose pour toi, pour moi ça ne représente rien.
Je vais prendre un autre exemple sur un problème que je connais bien : la pluviométrie.
On parle de "période de retour d'insuffisance", pour fixer les idées, dans certains cas assez localisés cette période est fixée à un an, dans le cas général où il n'y aurait que des dégâts matériels, cette période est fixée à 10 ans, pour les zones sensibles, type hôpitaux, cette période est fixée à 50 ans, lorsqu'il y a des risques humains, type rupture de digue de bassin de rétention, cette période est fixée à 100 ans.
Les calculs de probabilité s'appliquent au monde réel, un pourcentage (de quoi ?) n'a pas de signification dans le monde réel.
Que tu penses que 97% c'est déjà pas mal, ça n'intéresse personne. 97% ne représente rien pour personne. Il est très facile de dire "tu ne comprends pas le problème", "tu ne fixes pas les hypothèses", "je t'ai démontré que ..." ou d'autres gentillesses du même genre. Le facteur risque se compte en sous, en délais, mais pas en pourcentage.
Ce qui est important est de savoir calculer un risque, or, cela se calcule par application de la loi normale, ce que tu refuses systématiquement.
A la moindre question qu'on te pose, tu réponds des choses du genre "quelle loi" ou "la loi de Cauchy montre que tu ne dis que des bêtises".
Je ferai observer que tu n'as pas fait la moindre simulation ou le moindre calcul dans le cas présent. Tu n'as même pas donné ton avis sur la valeur à prendre en compte : c'est la médiane (700 heures) ou la moyenne (1000 heures). Et là, c'est pas tout à fait pareil.
***censuré : pour les noms d'oiseaux et autres amabilités passez par skype, ça n'intéresse personne ici
C'est bien triste que tu dises " un pourcentage (de quoi ?) n'a pas de signification dans le monde réel".
Cela ne représente sans doute rien pour toi qui n'as pas la moindre base de proba, mais pour tout ceux qui ont compris un cours de proba ça à tout son sens. En revanche il faudra que tu donnes une définition précise de ton facteur de risque en temps en sous ou autre...
Il est facile de dire "j'ai démontré que", il suffit de le faire. A condition que l'affirmation soit une assertion mathématiques. Un truc précis quoi. Contrairement à ce que tu fais.
Ca signifie quoi "un délai de 36 mois" ?
Je répète j'ai démontré que ton stock, quelqu'il soit, peut être vidé en 1h.
Une assertion du genre:
"J'ai un stock de N ampoules, qui ont une durée de vie donnée par une loi exponentielle de paramètre lambda (indépendantes). A chaque fois qu'une ampoule claque je la remplace, et je commande une nouvelle ampoule. La proba que, sur 36 mois, mon stock soit épuisé est de tant." est une assertion mathématique. Tout est défini.
En d'autres termes, (en admettant que le calcul de Léon soit juste) dire "avec 20 ampoules en stock" j'ai 97% de ne pas tomber en rade sur telle période est juste. Je ne t'ai pas vu faire une affirmation complète qui soit juste jusqu'à présent.
Faire des calculs qu'on ne peut pas/sait pas interpréter, ça n'a pas de sens...
Donc je repose la question d'origine : défini moi ce que signifie "stock suffisant".
Au fait, rire de la question "quelle loi ?" c'est un peu comme si tu disais :
"comment trouver la solution à l'équation f(x)=0"
que je réponde
"pour quelle fonction f?"
et que tu trouves la question ridicule, pensant que c'est forcément f(x) = x par exemple...
Juste une réponse précise sur un détail précis.
"Je répète j'ai démontré que ton stock, quelqu'il soit, peut être vidé en 1h."
Cette affirmation est fausse. En effet, au sens mathématique "presque sûr", il est impossible que le stock, suivant les hypothèses données, soit vidé en 1h.
Quand tu auras compris qu'une expérience aléatoire présente une répartition des écarts à la moyenne conforme à la loi normale, on pourra de nouveau discuter.
Bonjour Léon,
Je vais te répondre sur 2 points, amis avec politesse.
Bien, va voir mon message et dis moi ce que tu ne comprends pas dans cette démonstration (niveau TS) :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,922241
"Que représente la moyenne pour la fonction exponentielle ? Pas vraiment grand-chose."
pour la fonction exponentielle rien. Pour une variable aléatoire de loi exponentielle, l'espérance à un sens très précis (bien défini mathématiquement). Son interprétation principale est la suivante : si tu joue à un jeu où, à la partie i, tu gagne Xi euros, Xi suivant une loi exponentielle de paramètre lambda. Alors, si tu joues un nombre N de partie, et que N est très grand, le gain moyen par partie (somme des gains sur nombre de partie) est de l'ordre de l'espérance.
C'est fou comme, après 3 ou 4 ans d'explications (et dire que je dis juste "c'est faux" alors que j'ai écrit des dizaines de pages d'explications du B.A.BA des probas pour toi) tu continues de répéter les mêmes énormités, même si des dizaines de personnes t'ont montré le contraire.
Bonjour Sylviel,
Je ferai une citation (lue dernièrement, mais j'ai oublié son auteur, donc c'est de mémoire)
"Le statisticien fait des calculs justes à partir de données douteuses et donne des résultats faux".
Je rapprocherai ta démonstration d'Achille et de sa tortue : Achille ne rattrape jamais la tortue.
Dans le cas très terre à terre de la gestion de stock, l'exercice avec les pièces détachées n'avait certainement pas été posé par un ignorant comme moi. J'ai trouvé (intuitivement) que le nombre de pièce de stock nécessaire était 4, puis je l'ai vérifié sur un très grand nombre d'années.
Dans le cas présent, j'ai essayé de construire un exercice réaliste, tel qu'il corresponde à une préoccupation réelle.
Tu parles de pourcentage à 97%. Ca veut dire que 3 jours sur cent on sera en manque, ou 3 mois sur 100, ou 3 années sur 100 ?
La loi exponentielle précise qu'il y une probabilité de 0.5 pour que la lampe claque avant 700 heures d'utilisation. On cherche une probabilité négligeable, c'est à dire en utilisant l'expression mathématique "presque sûr". Moi, j'ai utilisé la méthode de simulation, Léon probablement une méthode numérique, nos résultats concordent (bien qu'il en soit extrêmement vexé), et toi tu dis "on peut pas résoudre le problème".
Tu me demandes ce que je ne comprends pas dans ta démonstration, ma réponse : tout.
D'où viennent ces formules ? "Supposons que toutes les ampoules aient claqué à un instant t" : supposition impossible. Si ta démonstration était vraie, la science des probabilités n'existerait pas, pour la simple raison que toute expérience aléatoire respecte la répartition normale des écarts à la moyenne.Pour mémoire, ces merveilleuses formules ne font pas partie de ma culture, pour cause de "nouveau programme", par contre, je sais très bien ce que représentent ces notions de probabilité et les conséquences dans des quantités d'applications. Même des professeurs dans la spécialité de "peinture de la Renaissance italienne" utilisent les mêmes notions fondamentales.
Dans ton message suivant tu parles de l'espérance. Je viens de relire la définition chez Wiki, dans le cas de la loi exponentielle, l'espérance est la moyenne ou la médiane ? C'est le but initial de ce topic, et malheureusement, il a très vite dévié.
"Tu parles de pourcentage à 97%. Ca veut dire que 3 jours sur cent on sera en manque, ou 3 mois sur 100, ou 3 années sur 100 ? "
rien de tout ça. Ca veut dire que, pour une durée donnée, il y à 3% des cas possible où on sera en manque.
Je te donne un exemple : lance un dé à 6 faces, si tu tombe sur 6 tu as perdu. Alors tu as 1 chance sur 6 de perdre. C'est pareil ici, sauf que le dé est plus compliqué.
"On cherche une probabilité négligeable, c'est à dire en utilisant l'expression mathématique "presque sûr"."
Tu fais un énorme contre-sens. En mathématiques un évènement est presque sûr s'il a une probabilité 1. Donc si son complémentaire (le fait qu'il n'arrive pas) à une probabilité 0. Pas une probabilité 10^15, une probabilité de 0. Sinon tu ne parles pas de maths.
Que dans la réalité tu ne veulent pas 0, mais seulement 1%, 1 pour 1000 ou 1 pour 10 000 : très bien ! Il suffit de le dire pour avoir un problème mathématique bien formulé. C'est tout le but de ma question initiale : qu'appelles tu suffisant ? Ou en d'autres termes qu'appelles tu "probabilité négligeable d'être à court" ?
"Tu me demandes ce que je ne comprends pas dans ta démonstration, ma réponse : tout. "
Pourtant c'est vraiment de niveau TS... Je vais faire plus simple pour que tu puisses poser les questions pas à pas (si tu es prêt à essayer de faire de maths - ce qui n'a jamais été le cas jusqu'à présent) :
1 ampoule, quand elle est claquée elle est remplacée instanément. Elle claque au bout d'un temps qui suis une loi exponentielle de paramètre lambda, noté Xi (i étant le numéro de l'ampoule), independante d'une ampoule à l'autre.
Tu as un stock de N ampoules, je vais calculer la proba que le stock disparaissent en un temps t (pas de remplacement).
1) La durée de ton stock c'est la somme des durées de chaque ampoule X1 + X2 + ... + Xn
2) La proba que ton stock soit épuisé à l'instant t c'est P(X1 + X2 + ... + Xn < t)
3) Si tous les Xi < t/n, alors X1 + X2 + ... + Xn < t. Donc
P(X1 + X2 + ... + Xn < t) > P(X1<t/n, ... Xn < t/n). Les virgules dans la proba signifie "et".
4) Comme les Xi sont indépendantes on a
P(X1<t/n, ... Xn < t/n) = P(X1<t/n)*P(X2<t/n)*...*P(Xn<t/n)
5) comme les Xi sont de même loi on a
P(X1<t/n, ... Xn < t/n) = (P(X1 <t/n) )^n
6) par définition d'une loi exponentielle P(X1 <t/n) = (1 - e^(-lambda t/n) ) >0
(voir wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_exponentielle, fonction de répartition dans le tableau à gauche -- ou un bouquin de maths de TS). On appelle cette valeur strictement positive a.
7) donc à partir de 3,4,5 et 6 on a
P(X1 + X2 + ... + Xn < t) > a^n >0
Donc il y a une probabilité positive que ton stock soit écoulé avant l'instant t. Donc un stock fini ne suffira jamais à garantir presque sûrement (au sens mathématique) le remplacement des ampoules avant livraison des ampoules commandées.
Elle est potentiellement très petite, mais néanmoins positive. A partir de quand doit-on la considérer négligeable ? C'est la question que je te pose depuis le début...
" je sais très bien ce que représentent ces notions de probabilité et les conséquences dans des quantités d'applications."
C'est bizarre quand même que tous le monde, jeune ou vieux, te disent le contraire... Tu ne connais pas le B.A.BA des probas, et ne veux pas faire le moindre effort pour l'apprendre.
"l'espérance est la moyenne ou la médiane "
l'espérance est l'espérance comme on trouve la définition partout. La moyenne d'une variable aléatoire ça n'a pas vraiment de sens stricto sensu. Si tu parles de la moyenne des valeurs prise par la variable aléatoire pondérés par leur probabilité alors c'est... l'espérance.
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