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Signification de la loi exponentielle

Posté par Profil Dlzlogic 17-04-14 à 15:19

Bonjour,
Pour éviter de polluer un topic en cours, j'ai ouvert un nouveau sujet.
J'ai bien lu que la loi exponentielle s'applique a des évènements aléatoires indépendants et "sans mémoire".
Par exemple le durée de vie des led suit cette loi exponentielle, puisque une led ne s'use pas, par contre, les lampes à filament s'usent, donc suivent une autre loi.
Cette loi a un paramètre lambda.
On peut lire dans la documentation que l'espérance de cette loi est 1/, et que la médiane est ln(2)/.
Cette médiane est définie comme étant la valeur qui correspond à la probabilité = 0.5
Donc, on a une chance sur 2 que la durée de vie de la led de l'exemple dépasse cette valeur.
Si cette conclusion est juste, on est alors dans l'application directe de la loi de Bernoulli qui équivaut à la loi normale discrétisée. (en fait c'est la loi normale qui est une généralisation de la loi de Bernoulli).
Que représente alors l'espérance pour la loi exponentielle ?
Merci d'avance.

Posté par
leon1789
re : Signification de la loi exponentielle 17-04-14 à 17:09

Citation :
Donc, on a une chance sur 2 que la durée de vie de la led de l'exemple dépasse cette valeur.

c'est exact.

Citation :
on est alors dans l'application directe de la loi de Bernoulli ...

Hum... Disons que l'événement "la durée de vie est supérieure à la médiane" suit la loi de Bernoulli de paramètre 1/2 , ok.

Citation :
... la loi de Bernoulli qui équivaut à la loi normale discrétisée. (en fait c'est la loi normale qui est une généralisation de la loi de Bernoulli).

hêin ?
La loi normale N(m,s) : x \in {\mathbb R} \to \exp(-(x-m)^2/2s^2)/s\sqrt{2\pi}
La loi de Bernoulli B(p) : \{0,1\} \to \{p, 1-p\}
Quel est le lien ??

Citation :
Que représente alors l'espérance pour la loi exponentielle ?

L'espérance de la loi représente la durée de vie moyenne des leds...
Et tu peux remarquer que, si on se base sur la loi exponentielle, cette espérance (ou moyenne) n'est pas la durée de vie la plus probable. En effet, les durée de vie les plus probables sont proches de... 0 ! Donc bien loin de 1/\lambda.

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 19-04-14 à 15:23

Bonjour,
Dans le but de mieux comprendre la loi exponentielle, je me suis posé un petit problème de gestion de stock.

Dans un certain environnement, il y a 100 lampes, type Led, dont la durée de vie suit une loi exponentielle de paramètre lambda = 0.001
La médiane est donc ln(2)/lambda ~700 heures.
Toutes ces lampes sont allumées 7j/7 et 24h/24. Quand une lampe claque, on la change immédiatement.
Le but est de calculer le stock nécessaire.
Les commandes de lampes de remplacement se font à 8H les jours ouvrables (5 jours sur 7).
Les livraisons de lampes, commandées au moins 3 jours avant (délais de courrier), se font à 18H les jours ouvrables. C'est à dire que le jour de la livraison de la commande, il peut y avoir 0, 1, 2 ou 3 colis.

Petit amusement pour ce long week-end.
Bien sûr, si l'énoncé parait imprécis, je donnerai les détails demandés.

Posté par
leon1789
re : Signification de la loi exponentielle 19-04-14 à 17:40

Des réponses seront peut-être postées ici

Cela dit, c'est bien toi qui a écrit :

Citation :
En fait, cet exercice est tout à fait scolaire, je ne suis pas vraiment compétent, contrairement à la question de gestion de pièces détachées où j'ai constaté une méconnaissance totale des notions de probabilité de la part de gens qui s'affichent spécialistes.
(cf Approximaiton Gaussienne (Incompréhension) )

Alors pourquoi poses-tu cet exo sur un forum où seuls des "spécialistes méconnaissant" te répondront ? Toi, tu connais la réponse à ton exo, et tu meurs d'envie de l'écrire, alors vas-y... comme ici , où tout le monde peut constater que tu ne sais pas ce qu'est une loi de probabilité.

D'ailleurs, tu n'a pas répondu à ma question qui portait sur une de tes affirmations :
en quoi la loi normale est la généralisation de la loi de Bernoulli ?

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 19-04-14 à 18:43

Bon, en fait, je me suis posé cette question, uniquement dans l'esprit informatique, simulation etc.
Autrement dit, je n'ai pas LA réponse à mon exo., j'ai la réponse que j'ai trouvée, et comme je l'ai déjà dit, je ne suis pas vraiment compétent, donc la seule chose que je sache faire dans ce domaine est une simulation.
J'espère plus de réponses de la part d'informaticiens que de spécialiste de proba et des stats, pour des raisons que tu devines.

Dans mon précédent message, en fait j'aurais dû dire, "la loi normale est la généralisation du théorème de Bernoulli". Ceci est expliqué pages 144 et suivantes dans le document que j'ai cité et que j'ai appelé Gauss1_19.pdf. J'espère que cette réponse te convient.  

Posté par
leon1789
re : Signification de la loi exponentielle 19-04-14 à 18:52

Citation :
Dans mon précédent message, en fait j'aurais dû dire, "la loi normale est la généralisation du théorème de Bernoulli". Ceci est expliqué pages 144 et suivantes dans le document que j'ai cité et que j'ai appelé Gauss1_19.pdf. J'espère que cette réponse te convient.  

Comment une loi (une fonction) peut être la généralisation d'un théorème ?
Tu aurais dû dire "le théorème central limite est une généralisation du théorème de Bernoulli" de ton document
On est à mille lieues de ta phrase "la loi normale est une généralisation de la loi de Bernoulli"...


Bon, tu parles de simulation. Très bien. Personnellement, j'adore les simulations.

Question préliminaire indispensable :
sais-tu définir en machine (avec la fonction rand() de ton langage préféré) une fonction simulant la durée de vie d'une Led suivant la loi exponentielle de paramètre lambda = 0.001 ? (c'est à dire d'espérance 1000)

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 19-04-14 à 19:00

Concernant la loi exponentielle.
Comme je l'ai dit dans mon premier message (ouverture du topic) dans la documentation que j'ai lue, pour la loi exponentielle, la valeur médiane =ln(2)/ est telle que la probabilité de durée de vie supérieure à la médiane est 0.5.
Mais si tu veux faire la simulation en partant d'une probabilité 1/2 de durée de vie = 1000 heures, le résultat sera différent, mais fondamentalement ça ne change pas grand-chose, puisqu'on ne pourra jamais vérifier l'un ou l'autre résultat.

Posté par
leon1789
re : Signification de la loi exponentielle 19-04-14 à 19:21

Ah, déjà, on voit un problème de compréhension se pointer.

Tu parles de une loi exponentielle de paramètre lambda = 0.001
Comme tu le dis, cette loi a pour médiane \ln(2)/0.001 = 1000\ln(2) = 693,...
Comme tu le dis, une led a une chance sur deux pour vivre plus longtemps (ou moins longtemps).

Je n'ai jamais dit que la médiane était de 1000...
J'ai dit que l'espérance de la loi est 1000. L'espérance et la médiane sont deux choses très différentes !

La question préliminaire à toute simulation est : comment simuler la durée de vie d'une led par la loi exponentielle de paramètre 0.001 (ie médiane 693, espérance 1000, etc.) ?

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 19-04-14 à 19:33

Oui, je sais bien que l'espérance et la médiane, c'est pas pareil.
Il me semble que l'énoncé est clair, on connait la loi de durée de vie des Led, et on connait le contexte, quel stock doit-on prévoir ?
Si c'était un QCM, je poserai la question en donnant 3 ou 4 nombres, mais c'est pas un QCM.
Si le problème ne t'intéresse pas, tu passes à autre chose.

Posté par
leon1789
re : Signification de la loi exponentielle 19-04-14 à 19:48

Citation :
Oui, je sais bien que l'espérance et la médiane, c'est pas pareil.

ok, donc tu avais mal lu ce que j'ai écrit quand j'ai parlé d'espérance 1000 ici Signification de la loi exponentielle

Le problème n'est pas inintéressant en lui-même. Mais il faut commencer par la première étape pour réaliser une simulation. Tu es bien d'accord que l'algorithme ne va pas tomber du ciel et qu'un algorithme faux ne sert pas à grand chose...

Citation :
Autrement dit, je n'ai pas LA réponse à mon exo., j'ai la réponse que j'ai trouvée, et comme je l'ai déjà dit, je ne suis pas vraiment compétent, donc la seule chose que je sache faire dans ce domaine est une simulation.

Donc tu as une réponse expérimentale ou pas ?
Tu as déjà fait une simulation ou pas ? Si c'est le cas, alors comment as-tu simulé la durée d' 1 led ? (avant d'en gérer 100...)

Personnellement, je sais construire une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0.001
Tu veux la fonction ? Elle n'est pas compliquée.

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 19-04-14 à 19:59

La seule question posée est "combien doit-on avoir le lampes en stock".
Le reste, c'est à dire la méthode, les choix etc. on verra après.

Posté par
leon1789
re : Signification de la loi exponentielle 19-04-14 à 20:08

Tu veux simplement un nombre, peu importe qu'il soit justifié ou pas. Donc les mathématiques ne t'intéressent pas. C'est bien ce que je disais au début : Tu connais ta réponse à ton exo, et tu meurs d'envie de l'écrire, alors vas-y...

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 19-04-14 à 20:37

Ta réaction a de quoi surprendre.
Il y a un problème posé. En l'occurrence, c'est moi qui me le suis posé, mais ça pourrait être n'importe qui d'autre qui me l'aurait posée.
J'ai calculé une valeur, résultat de la question.
Je trouve que ce problème mérite qu'on s'y intéresse (il s'agit de stockage, donc de sous) : je la soumet à 2 forum.
La seule réponse que j'ai eue est la tienne, que l'on pourrait résumer de la façon suivante : "comment tu as fait ?".
Un peu désolant, tu trouves pas ?
Une conclusion qui vient à l'esprit : seuls les maths qui correspondent à des exercices catalogués et répertoriés ont de l'intérêt pour les matheux.

Posté par
leon1789
re : Signification de la loi exponentielle 19-04-14 à 21:21

Je te pose la question "comment as-tu fait ceci cela" (sur des questions élémentaires, auxquelles tu n'as pas pu répondre !) car je sais que c'est la seule chose qui t'intéresse, parler de toi (comme ici Regression non-linéaire (Mixed effect model) où tu es complètement à coté du sujet...)

En effet, vu ce qui s'est passé ici ou ailleurs, et tes propos méprisant ci-dessus sur les spécialistes en probas(comme Sylviel et bien d'autres), j'ai des doutes sur ta volonté d'ouverture scientifique... C'est pourquoi, je t'ai posé une toute petite question mathématique. On a bien vu comment tu as repoussé grossièrement la question.

Ok, tu as calculé un nombre, parfait.


Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 19-04-14 à 21:47

Tu penses pas qu'on s'éloigne du sujet ?
C'est pas moi qui ai parlé de Sylviel, mais d'après ce qu'il a dit (ses références), ce type de problème est justement dans le domaine de ses compétences.
Son intervention à propos de la gestion de stock de pièces détachées ne m'a pas vraiment convaincu.

Posté par
lafol Moderateur
re : Signification de la loi exponentielle 20-04-14 à 08:28

bon, soyons clairs : je ne vais pas passer mon week-end de Pâques à surveiller que ça ne part pas en vrille, alors ça va être verrou le temps que les esprits se calment.

Posté par Profil DlzlogicProblème de gestion de stock. 21-04-14 à 12:23

Ce problème a été posé au début d'un long week-end, ce n'était pas une bonne idée, la discussion a été fermée. Cependant ces échanges ont permis de vérifier que les hypothèses proposées étaient claire et suffisamment précises pour qu'il n'y ait pas d'ambiguïté, donc il n'est pas vraiment utile de polémiquer une nouvelles fois. Voici l'énoncé :

Dans un certain environnement, il y a 100 lampes, type Led, dont la durée de vie suit une loi exponentielle de paramètre lambda = 0.001
La médiane est donc ln(2)/lambda ~700 heures.
Toutes ces lampes sont allumées 7j/7 et 24h/24. Quand une lampe claque, on la change immédiatement.
Le but est de calculer le stock nécessaire.
Les commandes de lampes de remplacement se font à 8H les jours ouvrables (5 jours sur 7).
Les livraisons de lampes, commandées au moins 3 jours avant (délais de courrier), se font à 18H les jours ouvrables. C'est à dire que le jour de la livraison de la commande, il peut y avoir 0, 1, 2 ou 3 colis.

A mon avis, la meilleurs façon de calculer cela est de faire une simulation (il faut bien que les machines servent à quelque-chose), mais une démonstration théorique sera toujours intéressante.

J'ai une solution et naturellement je ne prétends pas que c'est LA solution.

*** message déplacé ***

Posté par
macontribution
re : Signification de la loi exponentielle 21-04-14 à 15:52

Bonjour

Pour aborder un début de solution pouvez vous nous indiquer, dans la mesure du possible, les renseignements suivants :

a) quel est le stock "minimal" ou de "sécurité" existant dans ce "certain environnement" de lampes led ;

b) ces lampes me paraissent essentielles pour ce "certain environnement" et il doit pas y avoir de rupture d'approvisionnement :

* rupture du fait du fournisseur de lampes led : prévoir une diversification de l'approvisionnement pour éviter les défauts fabrication, incendie, grève, lock-out ;
* rupture du fait du transporteur : incendie, grève etc... ;
* rupture du fait de l'entreprise : autres faits... (les malheurs arrivent très vite) ;

Quelles sont les mesures qui sont prises car elles peuvent influencer le calcul du stock.

c) quel est le prix (hors tva) d'une lampe led ;

d) quel est le coût d'un livraison (hors taxe de tva) pour une quantité à nos indiquer de lampes led ;

Les considérations financières sont aussi à prendre en considération pour la détermination du stock nécessaire.

A vous lire

A bientôt

Posté par
sylviel_bis
re : Signification de la loi exponentielle 22-04-14 à 20:07

Juste pour signaler que j'ai éditer mon message sur les mathématiques.net pour donner une preuve de ce que je dis (accessoirement ce sont des évidences, vériables avec un niveau de TS).

Il est désolant que tu préfères ne pas regarder cette preuve (comme celle d'une discussion passée) et prétendre
que "tu n'es pas convaincu" plutôt que de donner des arguments un tant soit peu fondé.

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 22-04-14 à 20:16

La preuve est que tout évènement aléatoire respecte la loi normale. (Détails déjà expliqués largement).
Le résultat d'essais, c'est à dire de simulations, voir "méthode de Monté-Carlo".
Mois 0
Le stock minimum du mois est 26
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 26
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 26
Le stock minimum du mois est 30
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 26
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 26
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 29
Le stock minimum du mois est 26
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 29
Le stock minimum du mois est 29
Le stock minimum du mois est 25
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 28
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 25
Le stock minimum du mois est 27
Le stock minimum du mois est 29
Le stock minimum du mois est 26

Ceci n'est qu'un petit résumé.
Le plus simple pour t'en convaincre est encore de faire une simulation.

Posté par
leon1789
re : Signification de la loi exponentielle 22-04-14 à 21:54

<< Le plus simple pour t'en convaincre est encore de faire une simulation. >>

Encore faut-il savoir réaliser une simulation sans se planter lourdement, et savoir l'interpréter sans faire de complet contre-sens. Cela demande une certaine compréhension...

Posté par
leon1789
re : Signification de la loi exponentielle 23-04-14 à 08:34

<< La preuve est que tout évènement aléatoire respecte la loi normale. (Détails déjà expliqués largement). >>
Grossier contre-sens déjà expliqué largement...
En plus, tu ne sais même pas ce que signifie le mot "événement aléatoire" en mathématique. J'attends toujours la définition de ta part (ou un lien pointant sur une définition que tu comprennes !).

<< Ceci n'est qu'un petit résumé. >>
Ceci n'est pas un résumé, c'est un listing brutal, sans aucune explication !




Bon, pour ceux qui veulent faire de maths, voici une piste de réflexion :

D'après l'énoncé, une ampoule suit la exponentielle de paramètre 0.001
Il y a intervention dès qu'une ampoule parmi les 100 claque. On considère que chaque ampoule a une durée de vie indépendante des autres (ce qui n'est pas si clair que ça dans la réalité : une surtension pourrait faire tout claquer, etc.) Alors, l'événement aléatoire d'intervention pour réparation suit la loi exponentielle de paramètre 100 * 0.001 = 0.1

Par ailleurs, l'énoncé écrit par Dizlogic est très riche concernant la livraison des ampoules, mais il a oublié des impondérables genre week-end prolongé, grève, diverses erreurs humaines qui peuvent retarder la livraison, etc. Bref, personnellement, j'ai choisi de modéliser simplement la livraison par la loi uniforme entre 4 et 7 jours.

Comment réaliser une simulation :
Pour l'approvisionnement d'ampoules, c'est simple : on utilise rand(4..7) qui suit la loi uniforme sur les entiers en 4 et 7 (jours) ;
Pour le remplacement des ampoules, c'est pas compliqué : on utilise -10 * ln( 1 - rand() ) qui la loi exponentielle de paramètre 0.1 lorsque rand() suit la loi uniforme sur les réels de l'intervalle [0..1[ . Ici, la formule sort un nombre d'heures.

Voilà, une approche mathématique est spécifiée, et même s'il reste encore des choses à préciser, chacun programmera dans son langage préféré pour déterminer le stock d'ampoules suffisant en fonction du risque (donné par 1-proba sur les résultats numériques ci-dessous) qu'il veut prendre.
J'obtiens expérimentalement les résultats suivants :
             1 ampoule_stockée, proba = 0
             2 ampoules_stockées, proba = 0.0001508159141
              3 ampoules_stockées, proba = 0.001176364130
              4 ampoules_stockées, proba = 0.003197297379
              5 ampoules_stockées, proba = 0.008988628480
              6 ampoules_stockées, proba = 0.02292401894
              7 ampoules_stockées, proba = 0.04735619702
              8 ampoules_stockées, proba = 0.09058003800
               9 ampoules_stockées, proba = 0.1502729768
              10 ampoules_stockées, proba = 0.2312309595
              11 ampoules_stockées, proba = 0.3314330528
              12 ampoules_stockées, proba = 0.4403221428
              13 ampoules_stockées, proba = 0.5496938437
              14 ampoules_stockées, proba = 0.6525502971
              15 ampoules_stockées, proba = 0.7411998914
              16 ampoules_stockées, proba = 0.8132597352
              17 ampoules_stockées, proba = 0.8736464272
              18 ampoules_stockées, proba = 0.9160860254
              19 ampoules_stockées, proba = 0.9476065514
              20 ampoules_stockées, proba = 0.9682984948
              21 ampoules_stockées, proba = 0.9817512743
              22 ampoules_stockées, proba = 0.9895635386
              23 ampoules_stockées, proba = 0.9947516060
              24 ampoules_stockées, proba = 0.9975869452
              25 ampoules_stockées, proba = 0.9987934725
              26 ampoules_stockées, proba = 0.9993665730
              27 ampoules_stockées, proba = 0.9996983680
              28 ampoules_stockées, proba = 0.9998491839
              29 ampoules_stockées, proba = 0.9999698366
              30 ampoules_stockées, proba = 0.9999999998

Posté par
sylviel_bis
re : Signification de la loi exponentielle 23-04-14 à 10:19

Je tiens à remarquer que tu n'as pas défini "stock suffisant". Si par stock suffisant tu entends :"être à coup sûr capable de remplacer les lampes qui ont grillés" alors je t'ai démontré que tes stocks étaient insuffisant.

La tu annonces des stocks, qui vérifie une propriétée non précisée, que tu assoies sur un résultat grossièrement faux (tous les intervenants sur au moins 4 forums te l'ont expliqués).

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 23-04-14 à 12:20

Bonjour Léon,
Si j'ai bien compris, tu considères que la durée de vie moyenne d'une lampe est 1000 heures.
D'après ce que j'ai compris de la loi exponentielle (sujet de ce topic), la médiane = ln(2)/ est telle que il y a une chance sur 2 que sa durée de vie lui soit supérieure. Mais comme je découvre la loi exponentielle, je n'en connais pas toutes les finesses.

Bon, tu as un peu changé les hypothèses, mais on arrive sensiblement à la même valeur : il faut stocker 30 ampoules.

Au moins tu as fait le calcul et la simulation, c'était le but, merci.

Posté par
sylviel_bis
re : Signification de la loi exponentielle 23-04-14 à 13:40

Non il ne dis pas "il faut stocker 30 ampoules", il dit, "si tu stockes 30 ampoules tu as environ 99.99999998% de chances de ne pas tomber en rade". Si tu stockes 20 ampoules tu as environ 97% de chance de ne pas tomber en rade. Peut-être est-ce suffisant ?
En tout cas avec 30 ampoules tu n'es pas sûr de ne pas tomber en rade, tu as juste une estimation du risque.

Le problème sera bien formulé le jour où tu diras "je veux avoir au pire tel risque de tomber en rade sur telle période, combien d'ampoule me faut-il".

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 23-04-14 à 14:03

Sauf erreur de calcul, la simulation de Léon vaut pour une durée d'environ 10000 ans. Personnellement, ça me suffit comme sécurité.
Je t'avais déjà donné, à ta demande, un délai de 36 mois. Avec mes hypothèses de base, ça faisait 30 lampes.  

Posté par
sylviel_bis
re : Signification de la loi exponentielle 23-04-14 à 15:41

Encore une fois tu ne comprends pas le problème.
Que ce soit 36 mois est une chose, mais cela ne suffit pas.
la question est "quelle probabilité de défaillance acceptes tu" ?
Si tu réponds 0, alors il te faut un stock infini (même pour une durée de 1h),
je te l'ai démontré. Si tu fixe une autre proba, si tu admets un certain risque, alors
tu auras un stock fini.

L'objectif de cette discussion n'est pas de dire qu'il faut un stock démentiellement important, mais qu'il faut un problème bien formulé pour avoir une réponse. En particulier, à partir des résultats de Léon tu conclus "il faut 30 ampoules". Pour moi, 20 ampoules me semble déjà bien suffisante : avoir 97% de chance de ne pas tomber en manque de lumière semble raisonnable. Par contre si on parlait d'un système de sécurité où des centaines de vie sont en jeu (système vitaux d'avions typiquement) un risque de 10^-9 n'est pas déraisonnable (et on peut même vouloir plus).

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 23-04-14 à 16:25

@ Sylviel,
Tu parles de pourcentage de risque, je suppose que ça représente quelque-chose pour toi, pour moi ça ne représente rien.
Je vais prendre un autre exemple sur un problème que je connais bien : la pluviométrie.
On parle de "période de retour d'insuffisance", pour fixer les idées, dans certains cas assez localisés cette période est fixée à un an, dans le cas général où il n'y aurait que des dégâts matériels, cette période est fixée à 10 ans, pour les zones sensibles, type hôpitaux, cette période est fixée à 50 ans, lorsqu'il y a des risques humains, type rupture de digue de bassin de rétention, cette période est fixée à 100 ans.

Les calculs de probabilité s'appliquent au monde réel, un pourcentage (de quoi ?) n'a pas de signification dans le monde réel.
Que tu penses que 97% c'est déjà pas mal, ça n'intéresse personne. 97% ne représente rien pour personne. Il est très facile de dire "tu ne comprends pas le problème", "tu ne fixes pas les hypothèses", "je t'ai démontré que ..." ou d'autres gentillesses du même genre. Le facteur risque se compte en sous, en délais, mais pas en pourcentage.
Ce qui est important est de savoir calculer un risque, or, cela se calcule par application de la loi normale, ce que tu refuses systématiquement.

A la moindre question qu'on te pose, tu réponds des choses du genre "quelle loi" ou "la loi de Cauchy montre que tu ne dis que des bêtises".

Je ferai observer que tu n'as pas fait la moindre simulation ou le moindre calcul dans le cas présent. Tu n'as même pas donné ton avis sur la valeur à prendre en compte : c'est la médiane (700 heures) ou la moyenne (1000 heures). Et là, c'est pas tout à fait pareil.

***censuré  : pour les noms d'oiseaux et autres amabilités passez par skype, ça n'intéresse personne ici

Posté par
sylviel_bis
re : Signification de la loi exponentielle 23-04-14 à 18:11

C'est bien triste que tu dises " un pourcentage (de quoi ?) n'a pas de signification dans le monde réel".
Cela ne représente sans doute rien pour toi qui n'as pas la moindre base de proba, mais pour tout ceux qui ont compris un cours de proba ça à tout son sens. En revanche il faudra que tu donnes une définition précise de ton facteur de risque en temps en sous ou autre...

Il est facile de dire "j'ai démontré que", il suffit de le faire. A condition que l'affirmation soit une assertion mathématiques. Un truc précis quoi. Contrairement à ce que tu fais.

Ca signifie quoi "un délai de 36 mois" ?

Je répète j'ai démontré que ton stock, quelqu'il soit, peut être vidé en 1h.

Une assertion du genre:
"J'ai un stock de N ampoules, qui ont une durée de vie donnée par une loi exponentielle de paramètre lambda (indépendantes). A chaque fois qu'une ampoule claque je la remplace, et je commande une nouvelle ampoule. La proba que, sur 36 mois, mon stock soit épuisé est de tant." est une assertion mathématique. Tout est défini.
En d'autres termes, (en admettant que le calcul de Léon soit juste) dire "avec 20 ampoules en stock" j'ai 97% de ne pas tomber en rade sur telle période est juste. Je ne t'ai pas vu faire une affirmation complète qui soit juste jusqu'à présent.

Faire des calculs qu'on ne peut pas/sait pas interpréter, ça n'a pas de sens...

Donc je repose la question d'origine : défini moi ce que signifie "stock suffisant".

Posté par
sylviel_bis
re : Signification de la loi exponentielle 23-04-14 à 18:13

Au fait, rire de la question "quelle loi ?" c'est un peu comme si tu disais :
"comment trouver la solution à l'équation f(x)=0"
que je réponde
"pour quelle fonction f?"
et que tu trouves la question ridicule, pensant que c'est forcément f(x) = x par exemple...

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 23-04-14 à 18:25

Juste une réponse précise sur un détail précis.
"Je répète j'ai démontré que ton stock, quelqu'il soit, peut être vidé en 1h."
Cette affirmation est fausse. En effet, au sens mathématique "presque sûr", il est impossible que le stock, suivant les hypothèses données, soit vidé en 1h.

Quand tu auras compris qu'une expérience aléatoire présente une répartition des écarts à la moyenne conforme à la loi normale, on pourra de nouveau discuter.

Posté par
leon1789
re : Signification de la loi exponentielle 23-04-14 à 21:05

Citation :
Si j'ai bien compris, tu considères que la durée de vie moyenne d'une lampe est 1000 heures.

Ce n'est pas une considération, c'est un résultat mathématique : l'espérance (ou le moyenne) de la loi exponentielle de paramètre 0.001 est 1000.
Citation :
D'après ce que j'ai compris de la loi exponentielle (sujet de ce topic), la médiane = ln(2)/0.001 est telle que il y a une chance sur 2 que sa durée de vie lui soit supérieure. Mais comme je découvre la loi exponentielle, je n'en connais pas toutes les finesses.

C'est la seconde fois que tu compares la moyenne (qui est 1000) et la médiane (qui est 693) ! Je t'ai déjà répondu que ces deux notions sont différentes, tu as confirmé que c'était évident, donc pourquoi donc insistes-tu sur ce faux problème ?
Une dernière fois pour toute : on considère la loi exponentielle de paramètre 0.001, sa médiane est 693, sa moyenne est 1000.

Citation :
Sauf erreur de calcul, la simulation de Léon vaut pour une durée d'environ 10000 ans.

Tu n'as jamais énoncé les calculs que tu faisais... Je doute fort que l'on fasse la même chose.
(d'ailleurs, je n'ai jamais testé 10000 années.)

Citation :
Quand tu auras compris qu'une expérience aléatoire présente une répartition des écarts à la moyenne conforme à la loi normale, on pourra de nouveau discuter.

Qu'est-ce qu'une expérience aléatoire ? Tu n'as toujours pas donné de définition mathématique...

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 23-04-14 à 22:17

Citation :
Qu'est-ce qu'une expérience aléatoire ? Tu n'as toujours pas donné de définition mathématique...
Tu m'as dit un jour que les mathématiques expliquaient le réel.
Je peux te définir une expérience aléatoire dans le réel : jeu de pile ou face, pêche de poisson, tir au fusil etc., même lancé de cerceau dans le cadre du paradoxe dont on a beaucoup parlé.
C'est à toi de l'expliquer mathématiquement.
Heureusement des gens comme Bernoulli, Lagrange, Gauss l'ont déjà fait. Alors, tu n'a plus qu'à consulter leurs travaux. Mais tu peux aussi dire qu'ils se sont trompé.

Posté par
leon1789
re : Signification de la loi exponentielle 24-04-14 à 04:44

Citation :
Tu m'as dit un jour que les mathématiques expliquaient le réel.

Oui, les mathématiques se sont formidablement bien développées depuis des millénaires car elles aident à expliquer le réel, à divers degré et dans divers domaines.

Citation :
Je peux te définir une expérience aléatoire dans le réel : jeu de pile ou face, pêche de poisson, tir au fusil etc., même lancé de cerceau dans le cadre du paradoxe dont on a beaucoup parlé.

Tu appelles cela une définition ? Ce que tu écris là, ce sont des simples exemples, pas une définition ! Tu crois vraiment définir quelque chose là ???

Citation :
C'est à toi de l'expliquer mathématiquement.

C'est donc ça la réalité. Tu parles beaucoup de proba-stats sur les forums de maths sans connaitre la définition d'une expérience aléatoire. Cela montre bien de choses...

Tu continues à associer systématiquement l'aléatoire à la loi normale : tu arrives même a écrire l'énormité qu'une suite de nombres qui ne distribuent pas selon la gaussienne n'est pas une suite aléatoire (je fais allusion à ma suite des 27 entiers compris entre 1 et 365...).

Citation :
Heureusement des gens comme Bernoulli, Lagrange, Gauss l'ont déjà fait. Alors, tu n'a plus qu'à consulter leurs travaux.

Oui, mais toi, est-ce que tu comprends un seul mot de ce qu'ils ont écrit ? Peut-être faudrait-il commencer par comprendre ce qu'est une définition mathématique, puis la définition d'une expérience aléatoire, non ?

Citation :
Mais tu peux aussi dire qu'ils se sont trompés.

Heureusement que tu n'hésites pas à faire dire n'importe quoi à n'importe qui. Mais je te fais remarqué que je n'ai jamais mis en doute les écrits des mathématiciens que tu cites, ni même ceux des mathématiciens actuels spécialistes en proba-stats, contrairement à toi (confer la discussion au-dessus), alors que tu ne connais pas la définition mathématique d'une expérience aléatoire... C'est assez stupéfiant.

Sache que, de nos jours, les spécialistes en probas-stats (dont je ne fais pas partie) en savent 10 fois plus que les auteurs que tu cites, car 200 ans ce sont passés depuis, et ces 200 ans ont été très fertiles dans ce domaine mathématiques. Tu ne te rends pas compte de l'écart énorme entre les maths de Gauss, Laplace, etc (qui découvraient la loi normale et le théorème central limite) et l'état actuel des connaissances. Ne pas connaître cet écart n'est pas étonnant, mais ce qui est étonnant, c'est que tu refuses d'y penser.



Dans cette discussion où tu commences par dire << Dans le but de mieux comprendre la loi exponentielle... >>, mais tu n'as pas fait un poil de maths, et tu as même refusé d'en faire. Tant pis. Pour des matheux non spécialistes en proba comme moi, je pense que c'était une occasion de comprendre :
- que \min(X_1, ...,X_n) suit la loi exponentielle de coefficient \lambda_1 + ... + \lambda_n quand les X_i (supposées indépendantes) suivent une loi exponentielle de coefficient \lambda_i ;
- que -\ln(1-t)/\lambda permet d'obtenir une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de coefficient \lambda lorsque t suit la loi uniforme sur l'intervalle [0,1[.

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 24-04-14 à 12:31

Bonjour Léon,
Je vais te répondre sur 2 points, amis avec politesse.

Citation :
Tu continues à associer systématiquement l'aléatoire à la loi normale : tu arrives même a écrire l'énormité qu'une suite de nombres qui ne distribuent pas selon la gaussienne n'est pas une suite aléatoire (je fais allusion à ma suite des 27 entiers compris entre 1 et 365...).
Oui, et naturellement je confirme.
Dans les logiciels du type Scilab, Matlab, il y a une fonction rand() destinée à fournit aux chercheurs des outils de travail. Il se trouve, et c'est vraiment regrettable, que la version par défaut de rand() fournit une liste uniformément distribuée et non une liste résultant d'un tirage aléatoire fait à partir d'une liste uniformément distribuée, il faut préciser l'option "normal" pour obtenir cela.
En d'autre termes
Si option "normal", alors rand() fournit un résultat tel que la fonction rand ou ALEA de touts les logiciels "classiques" peuvent fournir.
Si pas option "normal", alors rand() fournit une liste (que le logiciel appelle matrice) de nombres uniformément distribués, cette liste n'est pas le résultat d'un tirage aléatoire.
Ceci est parfaitement clair dans la doc, les exemples etc. Au moins dans Scilab.

Donc au vu de ta liste, j'ai pu en conclure que tu l'avais sortie avec un logiciel "spécial math". Merci à Sylviel de m'avoir fait observer que "les bons logiciels proposaient plusieurs options pour la fonction rand()". Sinon, naturellement j'aurais rien compris. Déjà il y a quelques années nuage avait sorti une fonction GenRand() pour prouver que j'avais tort, maintenant c'est des fonctions servant à la recherche mathématique.
Pour mémoire les "déviances" de GenRand et de rand() façon Scilab, sont strictement opposées. Si tu intervertissais les fonctions en refaisant les tests, ce serait vraiment intéressant.

Seconde observation, en relation directe avec le sujet du topic.
Que représente la moyenne pour la fonction exponentielle ? Pas vraiment grand-chose. Il suffit de regarder la courbe pour s'en convaincre.
En probabilité, on utilise la moyenne (arithmétique et non empirique) pour choisir la valeur la plus probable lors d'un nombre de mesures supérieur à 1, et que toutes ces mesures sont équiprobables.
Pour la loi exponentielle, cela n'aurait pas beaucoup de sens. Par contre, ce qui équiprobable c'est le nombre de sorties de part et d'autres de la médiane = ln(2)/.
J'ai pas trop insisté quand tu t'es enferré sur ce point, dans le but d'arrondir les angles.
Mais puisque tu y reviens, il y a lieu de préciser les choses.          

Posté par
sylviel_bis
re : Signification de la loi exponentielle 24-04-14 à 13:02

Bien, va voir mon message et dis moi ce que tu ne comprends pas dans cette démonstration (niveau TS) :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,922241

Posté par
sylviel_bis
re : Signification de la loi exponentielle 24-04-14 à 13:44

"Que représente la moyenne pour la fonction exponentielle ? Pas vraiment grand-chose."

pour la fonction exponentielle rien. Pour une variable aléatoire de loi exponentielle, l'espérance à un sens très précis (bien défini mathématiquement). Son interprétation principale est la suivante : si tu joue à un jeu où, à la partie i, tu gagne Xi euros, Xi suivant une loi exponentielle de paramètre lambda. Alors, si tu joues un nombre N de partie, et que N est très grand, le gain moyen par partie (somme des gains sur nombre de partie) est de l'ordre de l'espérance.

C'est fou comme, après 3 ou 4 ans d'explications (et dire que je dis juste "c'est faux" alors que j'ai écrit des dizaines de pages d'explications du B.A.BA des probas pour toi) tu continues de répéter les mêmes énormités, même si des dizaines de personnes t'ont montré le contraire.

Posté par Profil Dlzlogicre : Signification de la loi exponentielle 24-04-14 à 14:12

Bonjour Sylviel,
Je ferai une citation (lue dernièrement, mais j'ai oublié son auteur, donc c'est de mémoire)
"Le statisticien fait des calculs justes à partir de données douteuses et donne des résultats faux".
Je rapprocherai ta démonstration d'Achille et de sa tortue : Achille ne rattrape jamais la tortue.
Dans le cas très terre à terre de la gestion de stock, l'exercice avec les pièces détachées n'avait certainement pas été posé par un ignorant comme moi. J'ai trouvé (intuitivement) que le nombre de pièce de stock nécessaire était 4, puis je l'ai vérifié sur un très grand nombre d'années.

Dans le cas présent, j'ai essayé de construire un exercice réaliste, tel qu'il corresponde à une préoccupation réelle.
Tu parles de pourcentage à 97%. Ca veut dire que 3 jours sur cent on sera en manque, ou 3 mois sur 100, ou 3 années sur 100 ?
La loi exponentielle précise qu'il y une probabilité de 0.5 pour que la lampe claque avant 700 heures d'utilisation. On cherche une probabilité négligeable, c'est à dire en utilisant l'expression mathématique "presque sûr". Moi, j'ai utilisé la méthode de simulation, Léon probablement une méthode numérique, nos résultats concordent (bien qu'il en soit extrêmement vexé), et toi tu dis "on peut pas résoudre le problème".

Tu me demandes ce que je ne comprends pas dans ta démonstration, ma réponse : tout.
D'où viennent ces formules ? "Supposons que toutes les ampoules aient claqué à un instant t" : supposition impossible. Si ta démonstration était vraie, la science des probabilités n'existerait pas, pour la simple raison que toute expérience aléatoire respecte la répartition normale des écarts à la moyenne.Pour mémoire, ces merveilleuses formules ne font pas partie de ma culture, pour cause de "nouveau programme", par contre, je sais très bien ce que représentent ces notions de probabilité et les conséquences dans des quantités d'applications. Même des professeurs dans la spécialité de "peinture de la Renaissance italienne" utilisent les mêmes notions fondamentales.

Dans ton message suivant tu parles de l'espérance. Je viens de relire la définition chez Wiki, dans le cas de la loi exponentielle, l'espérance est la moyenne ou la médiane ? C'est le but initial de ce topic, et malheureusement, il a très vite dévié.  
    

Posté par
sylviel_bis
re : Signification de la loi exponentielle 24-04-14 à 16:06

"Tu parles de pourcentage à 97%. Ca veut dire que 3 jours sur cent on sera en manque, ou 3 mois sur 100, ou 3 années sur 100 ? "

rien de tout ça. Ca veut dire que, pour une durée donnée, il y à 3% des cas possible où on sera en manque.
Je te donne un exemple : lance un dé à 6 faces, si tu tombe sur 6 tu as perdu. Alors tu as 1 chance sur 6 de perdre. C'est pareil ici, sauf que le dé est plus compliqué.

"On cherche une probabilité négligeable, c'est à dire en utilisant l'expression mathématique "presque sûr"."

Tu fais un énorme contre-sens. En mathématiques un évènement est presque sûr s'il a une probabilité 1. Donc si son complémentaire (le fait qu'il n'arrive pas) à une probabilité 0. Pas une probabilité 10^15, une probabilité de 0. Sinon tu ne parles pas de maths.

Que dans la réalité tu ne veulent pas 0, mais seulement 1%, 1 pour 1000 ou 1 pour 10 000 : très bien ! Il suffit de le dire pour avoir un problème mathématique bien formulé. C'est tout le but de ma question initiale : qu'appelles tu suffisant ? Ou en d'autres termes qu'appelles tu "probabilité négligeable d'être à court" ?

"Tu me demandes ce que je ne comprends pas dans ta démonstration, ma réponse : tout. "
Pourtant c'est vraiment de niveau TS... Je vais faire plus simple pour que tu puisses poser les questions pas à pas (si tu es prêt à essayer de faire de maths - ce qui n'a jamais été le cas jusqu'à présent) :
1 ampoule, quand elle est claquée elle est remplacée instanément. Elle claque au bout d'un temps qui suis une loi exponentielle de paramètre lambda, noté Xi (i étant le numéro de l'ampoule), independante d'une ampoule à l'autre.
Tu as un stock de N ampoules, je vais calculer la proba que le stock disparaissent en un temps t (pas de remplacement).
1) La durée de ton stock c'est la somme des durées de chaque ampoule X1 + X2 + ... + Xn
2) La proba que ton stock soit épuisé à l'instant t c'est P(X1 + X2 + ... + Xn < t)
3) Si tous les Xi < t/n, alors X1 + X2 + ... + Xn < t. Donc
P(X1 + X2 + ... + Xn < t) > P(X1<t/n, ... Xn < t/n). Les virgules dans la proba signifie "et".
4) Comme les Xi sont indépendantes on a
P(X1<t/n, ... Xn < t/n) = P(X1<t/n)*P(X2<t/n)*...*P(Xn<t/n)
5) comme les Xi sont de même loi on a
P(X1<t/n, ... Xn < t/n) = (P(X1 <t/n) )^n
6) par définition d'une loi exponentielle P(X1 <t/n) = (1 - e^(-lambda t/n) ) >0
(voir wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_exponentielle, fonction de répartition dans le tableau à gauche -- ou un bouquin de maths de TS). On appelle cette valeur strictement positive a.
7) donc à partir de 3,4,5 et 6 on a
P(X1 + X2 + ... + Xn < t) > a^n >0

Donc il y a une probabilité positive que ton stock soit écoulé avant l'instant t. Donc un stock fini ne suffira jamais à garantir presque sûrement (au sens mathématique) le remplacement des ampoules avant livraison des ampoules commandées.

Elle est potentiellement très petite, mais néanmoins positive. A partir de quand doit-on la considérer négligeable ? C'est la question que je te pose depuis le début...


" je sais très bien ce que représentent ces notions de probabilité et les conséquences dans des quantités d'applications."

C'est bizarre quand même que tous le monde, jeune ou vieux, te disent le contraire... Tu ne connais pas le B.A.BA des probas, et ne veux pas faire le moindre effort pour l'apprendre.

"l'espérance est la moyenne ou la médiane "
l'espérance est l'espérance comme on trouve la définition partout. La moyenne d'une variable aléatoire ça n'a pas vraiment de sens stricto sensu. Si tu parles de la moyenne des valeurs prise par la variable aléatoire pondérés par leur probabilité alors c'est... l'espérance.



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