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Niveau maths sup
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similitude!!

Posté par perfect (invité) 09-11-04 à 18:56

Bonjour!
on a ()=a/(cos2-tan*sin2) avec a un réel strictement positif et à l'intervalle -/2;/2 ouvert
vecteur OM()=()*()
on définit ()=cos+sin
et ()=-sin+cos

C est la courbe décrite par M() avec

Ma question est de montrer que ()=cos*0(+/2)
Ceci j'ai réussi mais on me demande ensuite d'en déduire l'existence d'une similitude directe f telle que f(C0)=C et de trouver la transformation simple pour passer de M()=M(+/2)
Merci de votre aide!

Posté par perfect (invité)re 09-11-04 à 19:20

j'ai fait une erreur ds la derniere question c'est pour passer de M... à M....et non =

Posté par
franz
re : similitude!! 10-11-04 à 01:07

Bonsoir Perfect,

1/

\large{M_\alpha (\theta)} a pour affixe \large{\rho_\alpha (\theta)e^{i \theta}} dans le plan complexe.

\large{M_0(\theta+\frac \alpha 2)} a pour affixe \large{\rho_0(\theta+\frac \alpha 2)e^{i (\theta+\frac \alpha 2)}} dans le plan complexe.

Pour tout ,
\large{\rho_\alpha (\theta)e^{i \theta} = \rho_0 \cos \alpha(\theta+\frac \alpha 2)e^{i (\theta+\frac \alpha 2-\frac \alpha 2)} = \cos \alpha e^{-i \frac \alpha 2} \rho_0(\theta+\frac \alpha 2)e^{i (\theta+\frac \alpha 2)}}

Comme \large{\alpha \in ]-\frac \pi 2 , \frac \pi 2 [ , \;\cos \alpha \gt 0}

\large{M_\alpha (\theta)} est donc l'image de \large{M_0(\theta+\frac \alpha 2)} par l'homothétie de centre O de rapport \large{\cos \alpha } et d'angle \large{-\frac \alpha 2}


2/
a/(cos2-tan*sin2) avec
\large{\rho_\alpha (\theta+\frac \pi 2) = \frac a {\cos(2 \theta+\pi)- \tan \alpha . \sin(2 \theta+\pi) } = - \frac a {\cos(2 \theta)- \tan \alpha . \sin(2 \theta) } = -\rho_\alpha (\theta)}

De la même façon qu'au 1/, on montre que \large{M_\alpha (\theta+\frac \pi 2)} est l'image de \large{M_\alpha (\theta)} par la rotation d'angle \large{-\frac \pi 2 }

Posté par perfect (invité) re!! 10-11-04 à 13:34

Merci de ton aide franz!Je n'y avais pas pensé!

Posté par perfect (invité)encore une p tit q° 12-11-04 à 18:19

dans le meme exercice je bloque une nouvelle fois
soit 0 fixé. On appelle D(0) la tangente à C en M(0). Montrer que les droites D(0) passent par un point P(0 indépendant de
Voila merci de votre aide!

Posté par perfect (invité)r 14-11-04 à 13:35

si vous ne trouvez pas la réponse j'aimerai juste connaitre le principe car je ne saispas comment commencer! Merci

Posté par
franz
re : similitude!! 16-11-04 à 01:29

\huge\rho_\alpha(\theta) = \frac a {\cos(2\theta) - \tan(\alpha)\sin(2\theta)} = \frac {a \cos \alpha } {\cos(2\theta) \cos \alpha- \sin(\alpha)\sin(2\theta)} = \frac {a \cos \alpha } {\cos(2\theta+\alpha)}

tu as dû voir dans ton cours que l'angle \large Vdans le repère local \large (\vec u_r,\vec u_\theta) entre la tangente à la courbe et \large \vec u_r vérifie
\large \rm{cotan} V = \frac {\rho^'(\theta)} {\rho(\theta)} = \frac{a \cos \alpha (-2 \sin(2\theta+\alpha)} {\cos^2(2\theta+\alpha)} \; \frac {\cos(2\theta+\alpha)} {a \cos \alpha } = -2 \tan(2\theta+\alpha)

Pour une valeur de \large \theta_0 donnée, dans le repère \large (O,\vec u_r,\vec u_\theta) (qui est donc fixé lui aussi), le point \large M_\alpha(\theta_0)de la courbe a pour coordonnées \large \(\rho_\alpha(\theta_0) ,0 \) et l'équation de la tangente vaut donc

\large Y-0 = \tan V \( X - \rho_\alpha(\theta_0) \) ou encore

\large -2 \tan(2\theta_0+\alpha) Y = X - \frac {a \cos \alpha } {\cos(2\theta+\alpha)} \\ -2 \sin(2\theta_0+\alpha) Y = \cos(2\theta_0+\alpha) X - a \cos \alpha

Montrer que toutes les tangentes \large D_\alpha(\theta_0) passent par un point \large P_0 revient à prouver l'existence d'un couple \large (X_0,Y_0) tel que

\large \forall \alpha \in {\mathbb R}, \;X_0\cos(2\theta_0+\alpha)+ 2 Y_0 \sin(2\theta_0+\alpha) -a \cos \alpha = 0  c'est-à-dire

\large \forall \alpha \in {\mathbb R}, \;X_0\[ \cos(2\theta_0)\cos\alpha - \sin(2\theta_0) \sin\alpha\]+ 2 Y_0 \[\sin(2\theta_0)\cos\alpha) + \cos(2\theta_0)\sin\alpha \] -a \cos \alpha = 0

\large \forall \alpha \in {\mathbb R}, \; \cos\alpha \[X_0 \cos(2\theta_0) + 2 Y_0 \sin(2\theta_0)- a \] + \sin\alpha \[ - X_0 \sin(2\theta_0)+ 2 Y_0 \cos(2\theta_0) \]= 0

\large \{X_0 \cos(2\theta_0) + 2 Y_0 \sin(2\theta_0)= a \\ - X_0 \sin(2\theta_0)+ 2 Y_0 \cos(2\theta_0) = 0

\large \{X_0 = a \cos(2\theta_0) \\ Y_0 = \frac a 2 \sin(2\theta_0)

Le point \large P_0 a pour coordonnées
\large \{X_0 = a \cos(2\theta_0) \\ Y_0 = \frac a 2 \sin(2\theta_0)  dans le repère \large (O,\vec u_r,\vec u_\theta) c'est-à-dire
\large \{X_1 = a \( \cos(2\theta_0)\cos\theta_0 + \frac 1 2 \sin(2\theta_0) \sin \theta_0 \) = a \[ \( \cos^2\theta_0- \sin^2\theta_0 \) \cos\theta_0 + \sin\theta_0 \cos\theta_0 \sin \theta_0 \] = a \cos^3\theta_0\\ Y_1 = a \( -\cos(2\theta_0)\sin\theta_0 + \frac 1 2 \sin(2\theta_0) \cos\theta_0 \) = a \[ - \( \cos^2 \theta_0 - \sin^2\theta_0 \) \sin \theta_0 + \sin\theta_0 \cos\theta_0 \cos\theta_0 \] = a\sin^3\theta_0   

\large P_0 \(a\cos^3 \theta_0,a\sin^3 \theta_0 \) dans le repère \large (O,\vec i,\vec j)



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