Niveau Maths sup

similitude!!

Posté par perfect (invité) 09-11-04 à 18:56

Bonjour!
on a ()=a/(cos2-tan*sin2) avec a un réel strictement positif et à l'intervalle -/2;/2 ouvert
vecteur OM()=()*()
on définit ()=cos+sin
et ()=-sin+cos

C est la courbe décrite par M() avec

Ma question est de montrer que ()=cos*₀(+/2)
Ceci j'ai réussi mais on me demande ensuite d'en déduire l'existence d'une similitude directe f telle que f(C₀)=C et de trouver la transformation simple pour passer de M()=M(+/2)
Merci de votre aide!

Posté par perfect (invité)re 09-11-04 à 19:20

j'ai fait une erreur ds la derniere question c'est pour passer de M... à M....et non =

Posté par re : similitude!! 10-11-04 à 01:07

Bonsoir Perfect,

1/

$\large{M_\alpha (\theta)}$ a pour affixe $\large{\rho_\alpha (\theta)e^{i \theta}}$ dans le plan complexe.

$\large{M_0(\theta+\frac \alpha 2)}$ a pour affixe $\large{\rho_0(\theta+\frac \alpha 2)e^{i (\theta+\frac \alpha 2)}}$ dans le plan complexe.

Pour tout ,
$\large{\rho_\alpha (\theta)e^{i \theta} = \rho_0 \cos \alpha(\theta+\frac \alpha 2)e^{i (\theta+\frac \alpha 2-\frac \alpha 2)} = \cos \alpha e^{-i \frac \alpha 2} \rho_0(\theta+\frac \alpha 2)e^{i (\theta+\frac \alpha 2)}}$

Comme $\large{\alpha \in ]-\frac \pi 2 , \frac \pi 2 [ , \;\cos \alpha \gt 0}$

$\large{M_\alpha (\theta)}$ est donc l'image de $\large{M_0(\theta+\frac \alpha 2)}$ par l'homothétie de centre O de rapport $\large{\cos \alpha }$ et d'angle $\large{-\frac \alpha 2}$

2/
a/(cos2-tan*sin2) avec
$\large{\rho_\alpha (\theta+\frac \pi 2) = \frac a {\cos(2 \theta+\pi)- \tan \alpha . \sin(2 \theta+\pi) } = - \frac a {\cos(2 \theta)- \tan \alpha . \sin(2 \theta) } = -\rho_\alpha (\theta)}$

De la même façon qu'au 1/, on montre que $\large{M_\alpha (\theta+\frac \pi 2)}$ est l'image de $\large{M_\alpha (\theta)}$ par la rotation d'angle $\large{-\frac \pi 2 }$

Posté par perfect (invité) re!! 10-11-04 à 13:34

Merci de ton aide franz!Je n'y avais pas pensé!

Posté par perfect (invité)encore une p tit q° 12-11-04 à 18:19

dans le meme exercice je bloque une nouvelle fois
soit ₀ fixé. On appelle D(₀) la tangente à C en M(₀). Montrer que les droites D(₀) passent par un point P(₀ indépendant de
Voila merci de votre aide!

Posté par perfect (invité)r 14-11-04 à 13:35

si vous ne trouvez pas la réponse j'aimerai juste connaitre le principe car je ne saispas comment commencer! Merci

Posté par re : similitude!! 16-11-04 à 01:29

$\huge\rho_\alpha(\theta) = \frac a {\cos(2\theta) - \tan(\alpha)\sin(2\theta)} = \frac {a \cos \alpha } {\cos(2\theta) \cos \alpha- \sin(\alpha)\sin(2\theta)} = \frac {a \cos \alpha } {\cos(2\theta+\alpha)}$

tu as dû voir dans ton cours que l'angle $\large V$ dans le repère local $\large (\vec u_r,\vec u_\theta)$ entre la tangente à la courbe et $\large \vec u_r$ vérifie
$\large \rm{cotan} V = \frac {\rho^'(\theta)} {\rho(\theta)} = \frac{a \cos \alpha (-2 \sin(2\theta+\alpha)} {\cos^2(2\theta+\alpha)} \; \frac {\cos(2\theta+\alpha)} {a \cos \alpha } = -2 \tan(2\theta+\alpha)$

Pour une valeur de $\large \theta_0$ donnée, dans le repère $\large (O,\vec u_r,\vec u_\theta)$ (qui est donc fixé lui aussi), le point $\large M_\alpha(\theta_0)$ de la courbe a pour coordonnées $\large $\rho_\alpha(\theta_0) ,0 $$ et l'équation de la tangente vaut donc

$\large Y-0 = \tan V $ X - \rho_\alpha(\theta_0) $$ ou encore

$\large -2 \tan(2\theta_0+\alpha) Y = X - \frac {a \cos \alpha } {\cos(2\theta+\alpha)} \\ -2 \sin(2\theta_0+\alpha) Y = \cos(2\theta_0+\alpha) X - a \cos \alpha$

Montrer que toutes les tangentes $\large D_\alpha(\theta_0)$ passent par un point $\large P_0$ revient à prouver l'existence d'un couple $\large (X_0,Y_0)$ tel que

$\large \forall \alpha \in {\mathbb R}, \;X_0\cos(2\theta_0+\alpha)+ 2 Y_0 \sin(2\theta_0+\alpha) -a \cos \alpha = 0$   c'est-à-dire

$\large \forall \alpha \in {\mathbb R}, \;X_0\[ \cos(2\theta_0)\cos\alpha - \sin(2\theta_0) \sin\alpha\]+ 2 Y_0 \[\sin(2\theta_0)\cos\alpha) + \cos(2\theta_0)\sin\alpha \] -a \cos \alpha = 0$

$\large \forall \alpha \in {\mathbb R}, \; \cos\alpha \[X_0 \cos(2\theta_0) + 2 Y_0 \sin(2\theta_0)- a \] + \sin\alpha \[ - X_0 \sin(2\theta_0)+ 2 Y_0 \cos(2\theta_0) \]= 0$

$\large \{X_0 \cos(2\theta_0) + 2 Y_0 \sin(2\theta_0)= a \\ - X_0 \sin(2\theta_0)+ 2 Y_0 \cos(2\theta_0) = 0$

$\large \{X_0 = a \cos(2\theta_0) \\ Y_0 = \frac a 2 \sin(2\theta_0)$

Le point $\large P_0$ a pour coordonnées
$\large \{X_0 = a \cos(2\theta_0) \\ Y_0 = \frac a 2 \sin(2\theta_0)$   dans le repère $\large (O,\vec u_r,\vec u_\theta)$ c'est-à-dire
$\large \{X_1 = a $ \cos(2\theta_0)\cos\theta_0 + \frac 1 2 \sin(2\theta_0) \sin \theta_0 $ = a \[ $ \cos^2\theta_0- \sin^2\theta_0 $ \cos\theta_0 + \sin\theta_0 \cos\theta_0 \sin \theta_0 \] = a \cos^3\theta_0\\ Y_1 = a $ -\cos(2\theta_0)\sin\theta_0 + \frac 1 2 \sin(2\theta_0) \cos\theta_0 $ = a \[ - $ \cos^2 \theta_0 - \sin^2\theta_0 $ \sin \theta_0 + \sin\theta_0 \cos\theta_0 \cos\theta_0 \] = a\sin^3\theta_0$

$\large P_0 $a\cos^3 \theta_0,a\sin^3 \theta_0 $$ dans le repère $\large (O,\vec i,\vec j)$

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