bonjour

le point que j'ai appele D c'est en fait M'

les droites d et d' me servent d'axes pour un repere orthonomé.j'ai trace la mediatrice de [IB]qui coupe le deux droites de depart en les centres des cercles CO et CA.

je vais bientot quitter le forum pour 2h environ mais continue c'es quasi + simple apres

2°.a) L'angle de s c'est (AM,OM')=−π/2(en vecteur)
b)Si j'appelle Ω le centre de s alors on doit avoir (ΩA,ΩO)=−π/2 L'ensemble de points Ω est le cercle dont le centre est le point d'intersection de la médiatrice de [AO] et de la droite passant par A et orthogonal à (AT) tel que (AT,AO)= −π/2  

dis plutot l'angle c'est (OA,O'A')=(OA,O'O)=−π/2(en vecteur) car s est determine avec OAO'A'et A'=O
on doit avoir (ΩA,ΩO)=−π/2 donc est sur le cercle de diamètre [AO] c'est
et comme  (ΩO,ΩO')=−π/2 donc est sur le cercle de diamètre [OO']c'est , ces deux cercles ( traces) se coupent en O et I c'est que est l(un de ces deux points mais O n'est pas invariant donc

ensuite quelles est l' image par s dela droites D ? vu que les droites images "tournent de 90° et qu'a chaque fois tu a un point et son image (A->0, O->O') D devient D' , donc H devient un point de D' et si on le note K=s(H) on a donc K c'est H'

apres comme [MM'] est une corde qui soutend l'engle droit (OM,OM')donc dans le 3eme cercle donc s(M) est sur la droite ' et sur d' : c'est M'

je dois quitter ( raison culinaire)

rapport de s : (IH'/IH)

MERCI, J'étais absent quand vous postez les autres réponses mais je voudrais savoir comment montrer 1.b)c'est à dire : Montrer qu'il existe un point A de D et un seul tel que le cercle CA soit tangent à D'.

d'abord le cercle cherche est forcement tgt en O à D' donc son centre est sur D.

il passe par O, I donc son centre est sur la mediatrice de [OI].

cete mediatrice n'est pas parallèle à D car sinon (OI) serrait parallèle à D' donc I serait sur D' , OH serait nul

donc medatrice de [OI] et D se coupent en un point unique , note A₁sur mon dessin, le cercle de rayon A₁O est tangent à D' et passe par O, I

maintenant en tracant A tel que A₁ milieu de [OA], voila l'nique cercle possible CA

Bonjour Smir et Sloreviv.
D'abord le cas général.
Les angles opposés d'un quadrilatère inscriptibles dans un cercle sont supplémentaires. Donc l'angle MIM'.
Deux angles aigus ayant leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux : c'est le cas des angles HIM et H'IM'.
Les triangles rectangles HIM et H'IM' sont donc semblables, de rapport IH/IH' = 1/2. Le point M' résulte du point par M par une homothétie de centre I et d'agrandissement 2 et d'une rotation de centre I et d'angle -pi/2 (un rotation d'angle droit dans le sens inverse des aiguilles d'une montre).

Détermination de A
(d) contient le diamètre de cA. Le centre de cA est l'intersection de (d) et de la médatrice de [OI].
Soit G le milieu de [OI] et N le centre de cA.
[GN] est une droite des milieux du triangle OIA; [IA] est parallèle à [GN] et donc perpendiculaire à [OI].
tan(IHO) = HA/HO = IA/IO = 1/2; O résulte donc bien de A par les transformations décrites dans le cas général.

Cercle demandé à la question 1a.
Son centre R est à l'intersection de (d') et de la médiatrice (GN) de [OI]. O' est tel que OO' = 2OR.
[NR] est une droite des milieux dut triangle OAO' et contient [NG]. (AO') est donc parallèle à (NG) et se confond avec (AI).
Les angles IOA et IO'O sont aigus et leurs côtés sont perpendiculaires chacun à chacun.
tan(IOA) = tan(IO'O); HI/HO = IO/IO' = 1/2; O' résulte donc bien de O par les transformations décrites dans le cas général.

troisième ligne à compléter : donc l'angle MIM' est droit

Si M ne fait pas partie de [OA], on a affaire au quadrilatère croisé OMIM' dont les angles O et I sont égaux et droits, car dans un quadrilatère croisé inscriptible dans un cercle les angles à deux sommets non consécutifs sont égaux.
On utilise alors la similitude et le rapport de similitude des triangles HIM et H'IM'.
Il y a deux cas : M est du même côté que A par rapport à O et de l'autre côté. Ils se résolvent de la même façon.