Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante
Première partie
ABC est un triangle direct du plan orienté.
On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA].
d1 est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle α.
d2 est l'image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d'angle α.
d3 est l'image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d'angle α.
A1 est le point d'intersection de d1 et d3, B1 celui de d1 et d2 et C1 celui de d2 et d3.
1. On appelle H le point d'intersection de (BC) et d1. Montrer que les triangles HIB et HB1J sont semblables.
2. En déduire que les triangles ABC et A1B1C1 sont semblables.
Deuxième partie
Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O, ,
)
A - Construction de la figure
1. Placer les points A(−4−6i), B(14), C(−4+6i), A1(3−7i), B1(9+5i) et C1(−3−i).
2. Calculer les affixes des milieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure.
3. Montrer que A1, I, B1 sont alignés.
On admettra que B1, J, C1 d'une part et C1, K, A1 d'autre part sont alignés.
4. Déterminer une mesure en radians de l'angle (IB; IB1).
On admettra que :
(KA; KA1) = /4
et que
(JC; JC1) = /4
5. Quelle est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle /4 ?
B - Recherche d'une similitude directe transformant ABC en A1B1C1
On admet qu'il existe une similitude directe s transformant les points A, B et C en A1, B1 et C1.
1. Montrer que l'écriture complexe de s est z′= (1/2 + i/2)z + 2-2i
où z et z′ désignent respectivement les affixes d'un point et de son image par s.
2. a. Déterminer le rapport et l'angle de s.
b. Déterminer l'affixe du centre w de s.
3. Que représente le point w pour ABC?
Je n'ai pas de problème pour la première partie.
Partie 2-A
J'ai réussi les question 1,2 et 3.
4) Je ne vois pas comment faire. Peut-on utiliser les coordonnée des points pour calculer la mesure de l'angle.
5) l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle /4 est (IB1).
Partie 2-B
1)Pouvez-vous me donnez une piste pour commencer ?
2) S est-elle la composé d'une homothétie et d'une rotation pour avoir un rapport et un angle ?
Comment faire ?
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