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similitude directe

Posté par
helioos 07-05-11 à 21:15

bonsoir a tous j'ai deux exercices de spé math sur les similitudes directes a traiter mais j'ai un peu de mal a commencer:

voila le premier:

1) Donner les éléments caractéristiques de la similitude directe f d'écriture complexe: z'=(1-i)z+2-i

Pr cette question j'ai trouvé que f est une similitude directe de rapport 2, d'angle -/4, de centre A d'affixe (2/i)-1
Dites-moi si cela est bon

2) Dans chacun des cas suivants, déterminer la similitude directe s telle que fos soit:
l'homothétie de centre O et de rapport 1/2,
la translation de vecteur (1;-1),
la similitude directe de centre B(3/5;-4/5), de rapport 2 et d'angle 5/4.

J'ai réussis la question 1 mais je ne sais pas comment traiter la seconde .
est ce que quelqu'un pourrait m'aider svp

et le second :
on considere les nombres complexes suivants:
z1=1; z2=3 + i ; z3 =i ; et z4= 1 - 3i

Dans le plan on considère les points A,B,C, et D ayant respectivement les affixes z1, z2, z3 et z4 .
Soit s la similitude plane directe qui transforme A en B  et C en D .
1) trouver l'ecriture complexe de s: sont centre , son rapport et son angle .
2) Si M' est l'imagie de M par s, demontrer que le triangle MM' est un triangle rectangle .

dans cet exo pour la premier question j'ai mit que s est une similitude directe , elle a donc pour ecriture complexe : z'= az+b
et si s transforme A en B cela revient a : z'A= zB ==> a.zA+b = 3 + i  

puis a*1 + b= 3 + i

et d'autre part C donne D par s donc on pose :
z'B= zD ==> a.zB+b= 1 - 3 i   ==>  a(i)+b=  1- 3i

ensuite je pensais faire la difference pour trouver a puis b et faire les calcul de rapport  angle et centre
mais pour la seconde je n'aiaucne idée pouvez vous m'aider svp ><  

Posté par
dhaltere : similitude directe 07-05-11 à 21:53

bonsoir

1/ ok, mais ne laisse pas de i au dénominateur
centre =-1-2i, rapport r=2, angle \theta=-\frac{\pi}4

2/ reviens à la définition d'une similitude
z'-\omega = r e^{i\theta}(z-\omega)

à toi

Posté par
helioosre : similitude directe 07-05-11 à 23:03

j'ai trouvé ca aussi mais j'ai beau cherché je ne trouve pas commen faire pour la seconde question :s

Posté par
dhaltere : similitude directe 07-05-11 à 23:25

f est la similitude directe de centre \omega=-1-2i, de rapport r=\frac12, d'angle \theta=-\frac{\pi}4
quelle est son expression complexe ?
z'=r e^{i\theta}(z-\omega) + \omega

quelle expression complexe a une homothétie h de centre O, de rapport 1/2 ?

quelle expression complexe a une translation t de vecteur de coordonnées (1;-1) ?

quelle expression complexe a une similitude directe d de centre B de coordonnées (3/5;-4/5), de rapport 2 et d'angle 5/4 ?

pour chacun de ces cas, tu dois trouver l'expression complexe d'une similitude directe et ses caractéristiques, tel que

1/ f°s=h

2/ f°s=t

3/ f°s=d

pour le résoudre facilement, je te propose d'abord d'établir l'expression de la similitude inverse de f : f-1

et puisque
f°s=h
alors f-1°f°s = f-1°h

et puisque la similitude est involutive : f-1°f=Id (identité)

finalement
s = f-1°h

donc on établit d'abord l'expression de f-1

à toi.

Posté par
helioosre : similitude directe 07-05-11 à 23:35

cela me parait un peu compliqué on peu pas resoudre l'exercice d'une autre maniere?
j'avais  pensé utiliser le théorème qui dit que la composé de deux similitudes a pour rapport le produit des rapports des deux similitudes

Posté par
helioosre : similitude directe 07-05-11 à 23:42

l'homothétie a pour ecriture complexe : z'= 1/2.z
la translation a pour ecriture complexe : z'= z+1-i
la similitude directe a pour ecriture complexe : z'= 2.eî5/4 (z-3/5+4/5i)-3/5-4/5.

Posté par
dhaltere : similitude directe 07-05-11 à 23:50

presque ça

pour la dernière, tu as un peu cafouillé vers la fin

attention aussi à utiliser les parenthèses là où il en faut

et pour f-1 ?

Posté par
helioosre : similitude directe 07-05-11 à 23:51

pour f-1 je ne vois vraiment pas comment faire pourrais- tu m'expliquer?

Posté par
dhaltere : similitude directe 07-05-11 à 23:53

oh, c'est très simple, grâce aux nombres complexes

f est caractérisée par une relation qui te donne l'image z'=f(z) de tout complexe

pour obtenir l'expression de f-1, il suffit d'établir la relation réciproque z=f-1(z')

Posté par
helioosre : similitude directe 07-05-11 à 23:56

c'est a dire pour l'homothétie par example , z= 2.z'? cela designerai f-1 ?

Posté par
dhaltere : similitude directe 08-05-11 à 09:39

Salut, on reprend nos petites affaires ? quelques erreurs se sont glissées dans les messages précédents :
le rapport de f est \sqr2, par 2
une similitude n'est pas "involutive", ce terme est utilisé pour les symétries m qui vérifient [m°m](z)=z.

Soit f : z\rightarrow z'=(1-i)z+2-i
c'est l'expression algébrique d'une similitude directe

rapport : r=|1-i|=\sqr2
angle : \theta=-\frac{\pi}4
centre : \omega=-1-2i, déterminé par la recherche de point fixe, c'est à dire la résolution de l'équation : f(\omega)=\omega

rappel : une similitude directe d'angle non nul vérifie aussi l'équation générale (dite expression trigonométrique, ou géométrique)
f(z)-\omega = r e^{i\theta}(z-\omega)
où r\in\mathbb{R}^{*+}

Une similitude directe d'angle non nul est une bijection, elle admet une bijection réciproque d'expression générale
f-1 : z'-\omega = \frac1re^{-i\theta}(z-\omega)
Cette expression montre que le centre est le même, le rapport inverse, l'angle opposé.

on vérifiera que [f\circ f^{-1}](z)=[f^{-1}\circ f](z)=z est l'identité

dans notre cas, en inversant l'égalité z'=(1-i)z+2-i qui caractérise la similitude f, on obtient l'expression algébrique de la réciproque
f-1 : z'\rightarrow z=\frac{1+i}2z'-\frac{3+i}2

---
Soit h : z\rightarrow z'=\frac12z
cette similitude directe est une homothétie de centre l'origine O du repère, de rapport \frac12

on cherche l'application s du plan complexe telle que f°s=h
alors cette application vérifie l'équation s=f-1°h

3$z\stackrel{h}{\rightarrow}\frac12z\stackrel{f^{-1}}{\rightarrow}\frac{1+i}2\(\frac12z\)-\frac{3+i}2

de cette relation on exprime les caractéristiques de s :
similitude directe
de rapport \frac12*\times\frac1r=\frac1{2\sqr2}
d'angle -\theta=\frac{\pi}4
de centre -\frac{8+6i}5

---
Soit t : z\rightarrow z'=z+1-i
cette application est une translation de vecteur (1;-1)
elle fait partie de la famille des similitudes directes, son "rapport" est 1, son angle nul, et n'a pas de centre.

on cherche l'application s du plan complexe telle que f°s=t
alors cette application vérifie l'équation s=f-1°t

3$z\stackrel{t}{\rightarrow}\frac12z\stackrel{f^{-1}}{\rightarrow}\frac{1+i}2\(z+1-i\)-\frac{3+i}2

de cette relation on exprime les caractéristiques de s :
similitude directe
de rapport 1\times\frac1r=\frac1{\sqr2}
d'angle -\theta=\frac{\pi}4
de centre -i

---
je pense que tu as mal recopié ton énoncé initial et que le rapport de la similitude est \sqr2, ce qui simplifie les calculs, et non pas 2. Aussi je te le présente comme ça; si ce n'est pas le cas, tu seras bon pour recalculer le rapport de s (facile) et son centre (fastidieux)

Soit d : z\rightarrow z'=\sqr2e^{i\frac{5\pi}4}(z-(\frac35-i\frac45))+(\frac35-i\frac45)
cette application est la similitude directe
de rapport \sqr2
d'angle \frac{5\pi}4 \equiv -\frac{3\pi}4\qquad[2\pi], on rappelle que e^{-i\frac{3\pi}4}=-\frac{\sqr2}2-i\frac{\sqr2}2

son expression algébrique est
z'=-(1+i)z+2-i

on cherche l'application s du plan complexe telle que f°s=d
alors cette application vérifie l'équation s=f-1°d

3$z\stackrel{d}{\rightarrow}\frac12z\stackrel{f^{-1}}{\rightarrow}\frac{1+i}2\(-(1+i)z+2-i\)-\frac{3+i}2

son expression algébrique est
z'=-iz

de cette relation on exprime les caractéristiques de s :
similitude directe
de rapport \sqr2*\times\frac1r=1
d'angle \frac{5\pi}4-\theta\equiv \frac{3\pi}4
de centre 0

Posté par
helioosre : similitude directe 08-05-11 à 14:03

merci beaucoup de ton aide dhalte tes explication m'ont énormément aidé sachant que j'ai une interrogation sur ce chapitre bientôt. Je vais pouvoir m'entraîner merci beaucoup


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